Номер 2.12, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.12. Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?

Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. В условии задачи даны три прямые, которые пересекаются в одной точке. Обозначим их $a$, $b$ и $c$.

Чтобы найти общее количество плоскостей, необходимо определить, сколько уникальных пар прямых можно составить из трех данных. Это является комбинаторной задачей нахождения числа сочетаний из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=3$ (общее число прямых) и $k=2$ (число прямых в паре для определения плоскости). Подставив значения в формулу, получаем:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Таким образом, мы можем составить 3 пары пересекающихся прямых: $(a, b)$, $(a, c)$ и $(b, c)$. Каждая из этих пар однозначно определяет плоскость.

Далее нужно рассмотреть, являются ли плоскости, определенные этими парами, различными. Это зависит от пространственного расположения исходных трех прямых.

1. Если все три прямые лежат в одной плоскости (являются компланарными). Это частный случай. Тогда любая пара этих прямых будет лежать в этой же плоскости, и, следовательно, все три пары будут определять одну и ту же плоскость. В этом случае будет проведена только 1 плоскость.

2. Если три прямые не лежат в одной плоскости. Это общий случай. В таком случае каждая пара прямых будет определять свою собственную, уникальную плоскость. Если бы, например, плоскость, проходящая через прямые $a$ и $b$, совпадала с плоскостью, проходящей через прямые $a$ и $c$, то это означало бы, что все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости, что противоречило бы условию этого случая. Следовательно, три разные пары прямых задают три разные плоскости.

В стандартной постановке подобных геометрических задач, если не дано дополнительных уточнений (например, что прямые лежат в одной плоскости), рассматривается наиболее общий случай. Общим случаем для трех прямых, пересекающихся в одной точке, является их некомпланарное расположение.

Таким образом, три различные пары прямых проводят три различные плоскости.

Ответ: 3