Номер 2.14, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.14. Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, вершины $A$, $B$ и $C$ не лежат в этой плоскости, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$, прямая $BC$ — в точке $F$. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.5

Нахождение ошибки

Поскольку $ABCD$ — четырёхугольник, будем считать его плоской фигурой (все его вершины лежат в одной плоскости). Обозначим эту плоскость $γ$.

Из условия известно, что прямая $AB$ пересекает плоскость $α$ в точке $E$. Так как точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $γ$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $γ$. Следовательно, точка $E$, принадлежащая прямой $AB$, также лежит в плоскости $γ$.

Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $α$ в точке $F$. Так как точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $γ$, то и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $γ$. Следовательно, точка $F$, принадлежащая прямой $BC$, также лежит в плоскости $γ$.

Вершина $D$ по определению четырёхугольника также лежит в плоскости $γ$.

Таким образом, мы установили, что точки $D$, $E$ и $F$ принадлежат плоскости четырёхугольника $γ$. В то же время, по условию задачи, все эти три точки ($D$, $E$ и $F$) лежат в плоскости $α$.

Точки, принадлежащие одновременно двум различным плоскостям, лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $α$ и $γ$.

На рисунке 2.5 точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой (они изображены как вершины треугольника). Это является ошибкой.

Ответ: Ошибка на рисунке 2.5 заключается в том, что точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой. Согласно условию, если четырёхугольник $ABCD$ является плоской фигурой, эти точки должны быть коллинеарными, так как они принадлежат одновременно плоскости четырёхугольника и плоскости $α$, а значит, лежат на прямой их пересечения.

Правильный рисунок

На правильном рисунке точки $D$, $E$ и $F$ должны лежать на одной прямой в плоскости $α$.

Ответ: