Номер 2.10, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.10. Прямая $BA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, прямая $BC$ — в точке $C$ (рис. 2.4). На отрезке $AB$ отметили точку $D$, на отрезке $BC$ — точку $E$. Постройте точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$.

Рис. 2.4

Для построения точки пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $ \alpha $. Воспользуемся для этого методом вспомогательных плоскостей.

1. Прямые $BA$ и $BC$ пересекаются в точке $B$, следовательно, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $ (ABC) $.

2. По условию, точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Это означает, что точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости $(ABC)$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, прямая $DE$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $ является их общей точкой. Поскольку вся прямая $DE$ лежит в плоскости $(ABC)$, то искомая точка должна также лежать и на линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $ \alpha $.

4. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $ \alpha $. По условию, прямая $BA$ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $A$. Следовательно, точка $A$ принадлежит и плоскости $ \alpha $, и плоскости $(ABC)$. Аналогично, прямая $BC$ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $C$, значит, точка $C$ также принадлежит обеим плоскостям. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, проходящая через все их общие точки. Следовательно, плоскости $(ABC)$ и $ \alpha $ пересекаются по прямой $AC$.

5. Таким образом, искомая точка пересечения является точкой, принадлежащей одновременно двум прямым: $DE$ и $AC$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, они либо пересекаются (если не параллельны), либо параллельны. На рисунке видно, что они не параллельны, а значит, пересекаются в одной точке.

Построение:

1. Проводим прямую через точки $A$ и $C$. Эта прямая лежит в плоскости $ \alpha $.
2. Проводим прямую через точки $D$ и $E$.
3. Находим точку пересечения прямых $AC$ и $DE$. Эта точка и является искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ \alpha $.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $DE$ и прямой $AC$.