Номер 2.4, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.4. Центр $O$ и хорда $AB$ окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. Хорда AB не является диаметром.
В этом случае центр окружности O и концы хорды, точки A и B, не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
По определению, окружность является плоской фигурой, то есть все её точки, включая центр O и точки A и B, лежат в одной плоскости (назовём её плоскостью окружности).
По условию задачи, точки O, A и B также лежат в некоторой данной плоскости.
Поскольку через три неколлинеарные точки O, A, и B можно провести только одну плоскость, то плоскость окружности и данная в условии плоскость совпадают. Следовательно, в этом случае любая точка окружности лежит в данной плоскости.

2. Хорда AB является диаметром.
В этом случае точки O, A и B лежат на одной прямой. Через одну прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей.
Окружность по определению лежит в некоторой одной плоскости, назовём её $\alpha$. Прямая AB, являющаяся диаметром, также лежит в этой плоскости $\alpha$.
В условии сказано, что центр O и хорда AB лежат в "некоторой плоскости", назовём её $\beta$. Это означает, что прямая AB лежит и в плоскости $\beta$.
Плоскости $\alpha$ (плоскость, в которой лежит вся окружность) и $\beta$ (плоскость, данная в условии) могут не совпадать. Они могут быть разными плоскостями, которые пересекаются по прямой AB. В таком случае в плоскости $\beta$ будет лежать только диаметр AB, а все остальные точки окружности, принадлежащие плоскости $\alpha$, не будут лежать в плоскости $\beta$.

Так как вопрос "Лежит ли... любая точка..." подразумевает, что утверждение должно быть верным во всех случаях, а мы нашли контрпример (случай с диаметром), то общий ответ на вопрос — нет.

Ответ: Нет, не обязательно. Если хорда AB является диаметром, то окружность может лежать в плоскости, отличной от данной, пересекаясь с ней по прямой AB. В этом случае в данной плоскости будут лежать только точки этого диаметра.