Номер 2.6, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.6. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости?

Нет, не все прямые, пересекающие данные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости. Чтобы доказать это, рассмотрим различные случаи.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть точка их пересечения — $O$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим все прямые, которые пересекают одновременно и прямую $a$, и прямую $b$.

1. Прямые, пересекающие $a$ и $b$ в различных точках.
Возьмем любую прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ в точке $B$, причем точки $A$ и $B$ не совпадают ($A \neq B$).
Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Поскольку две различные точки ($A$ и $B$) прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме вся прямая $c$ лежит в этой плоскости. Таким образом, все прямые, пересекающие $a$ и $b$ в разных точках, лежат в одной плоскости $\alpha$.

2. Прямые, пересекающие $a$ и $b$ в одной и той же точке.
Единственная общая точка для прямых $a$ и $b$ — это точка их пересечения $O$. Следовательно, любая прямая, пересекающая $a$ и $b$ в одной точке, должна проходить через точку $O$.
Через точку $O$ в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Некоторые из этих прямых (например, сами прямые $a$ и $b$) лежат в плоскости $\alpha$. Однако существуют и прямые, проходящие через точку $O$, но не лежащие в плоскости $\alpha$. Например, можно провести прямую $d$ через точку $O$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Эта прямая $d$ пересекает и прямую $a$ (в точке $O$), и прямую $b$ (в точке $O$), но сама не лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку мы нашли как прямые, удовлетворяющие условию и лежащие в плоскости $\alpha$ (случай 1), так и прямую (например, $d$), которая также удовлетворяет условию, но не лежит в плоскости $\alpha$ (случай 2), мы приходим к выводу, что не все прямые, пересекающие $a$ и $b$, лежат в одной и той же плоскости.

Ответ: Нет.