Номер 1.30, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.30. Диагональ $AC$ равнобокой трапеции $ABCD$ $(AB = CD)$ делит угол $BAD$ пополам (рис. 1.20). Точка $E$ — середина отрезка $AB$. Прямая, проходящая через точку $E$ параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а отрезок $CD$ — в точке $F$. Найдите периметр трапеции $ABCD$, если $EK = 3$ см, $KF = 5$ см.

Рис. 1.20

Поскольку прямая, проходящая через точку E, параллельна основаниям трапеции ($EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$), а точка E является серединой боковой стороны AB, то отрезок EF является средней линией трапеции ABCD.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как E — середина стороны AB и $EK \parallel BC$, то по теореме о средней линии треугольника, EK является средней линией треугольника ABC. Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Следовательно:
$EK = \frac{1}{2} BC$
Подставляя известное значение $EK = 3$ см, находим длину основания BC:
$BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 3 = 6$ см.

По свойству средней линии трапеции, она пересекает диагонали в их серединах. Таким образом, точка K является серединой диагонали AC, а точка F является серединой боковой стороны CD. Рассмотрим треугольник ACD. Отрезок KF соединяет середины сторон AC и CD, следовательно, KF является средней линией треугольника ACD.
$KF = \frac{1}{2} AD$
Подставляя известное значение $KF = 5$ см, находим длину основания AD:
$AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 5 = 10$ см.

По условию, диагональ AC делит угол BAD пополам, то есть $\angle BAC = \angle CAD$.
Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей AC, а значит, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Так как $BC = 6$ см, то и $AB = 6$ см.

Трапеция ABCD является равнобокой по условию ($AB = CD$), поэтому $CD = AB = 6$ см.

Теперь мы можем найти периметр трапеции, который равен сумме длин всех ее сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$
$P_{ABCD} = 6 + 6 + 6 + 10 = 28$ см.

Ответ: 28 см.