Номер 1.26, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.26. Точки $M$, $N$, $K$ и $P$, принадлежащие соответственно звеньям $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ замкнутой ломаной $ABCD$, лежат в плоскости $\alpha$. Верно ли, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ также принадлежат плоскости $\alpha$?

Нет, это утверждение не является верным. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не обязательно принадлежат плоскости $\alpha$.

Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим пространственную ломаную $ABCD$, вершины которой не лежат в одной плоскости (такую ломаную также называют пространственным или скрещивающимся четырехугольником). Например, можно взять вершины тетраэдра.

Пусть точки $M$, $N$, $K$ и $P$ являются серединами звеньев $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Докажем, что эти четыре точки всегда лежат в одной плоскости.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии треугольника, $MN$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$. То есть, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
2. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. Отрезок $PK$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Аналогично, $PK$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PK \parallel AC$ и $PK = \frac{1}{2}AC$.
3. Из этих двух пунктов следует, что $MN \parallel PK$ (так как оба отрезка параллельны $AC$) и $MN = PK$ (так как длины обоих отрезков равны половине длины $AC$).
4. Четырехугольник $MNKP$, у которого две противоположные стороны ($MN$ и $PK$) параллельны и равны, является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
5. Все вершины любого параллелограмма по определению лежат в одной плоскости. Значит, точки $M$, $N$, $K$ и $P$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы показали, что можно выбрать вершины $A$, $B$, $C$, $D$, не лежащие в одной плоскости, и при этом найти на звеньях ломаной $ABCD$ такие точки $M$, $N$, $K$, $P$, которые будут лежать в одной плоскости. Это противоречит утверждению, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ также должны лежать в этой плоскости.

Ответ: Нет, не верно.