Номер 1.21, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.21. Вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$, а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения сторон $BA$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что точки $M, D$ и $K$ лежат на одной прямой.

Поскольку $A, B, C, D$ являются вершинами четырехугольника, они лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $(ABC)$. Все точки четырехугольника, а также прямые, содержащие его стороны, лежат в этой плоскости.

Рассмотрим принадлежность точек $M, D$ и $K$ к плоскости $(ABC)$:

1. Точка $D$ является вершиной четырехугольника, следовательно, $D$ принадлежит плоскости $(ABC)$.

2. Точка $M$ по условию лежит на прямой, содержащей сторону $BA$. Так как точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $(ABC)$, то и вся прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $M$ также принадлежит плоскости $(ABC)$.

3. Аналогично, точка $K$ по условию лежит на прямой, содержащей сторону $BC$. Так как точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $(ABC)$, то и вся прямая $BC$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $K$ также принадлежит плоскости $(ABC)$.

Таким образом, все три точки $M, D$ и $K$ лежат в плоскости четырехугольника $(ABC)$.

Теперь рассмотрим принадлежность этих же точек к плоскости $\alpha$ согласно условию задачи:

1. Вершина $D$ принадлежит плоскости $\alpha$.

2. Прямая $BA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$.

3. Прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$, следовательно, точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Таким образом, все три точки $M, D$ и $K$ лежат также и в плоскости $\alpha$.

Мы установили, что точки $M, D$ и $K$ являются общими для двух плоскостей: плоскости $(ABC)$ и плоскости $\alpha$. Эти плоскости не совпадают, поскольку по условию вершины $A, B$ и $C$ лежат вне плоскости $\alpha$, но в плоскости $(ABC)$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки.

Следовательно, точки $M, D$ и $K$ должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $M, D$ и $K$ лежат на одной прямой.