gdz.top
Номер 1.25, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Введение в стереометрию. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии - номер 1.25, страница 13.
№1.24
№1.25 (с. 13)
Условие. №1.25 (с. 13)
1.25. Даны $n$ точек, $n > 4$, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости.
Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.
Решение. №1.25 (с. 13)
Решение 2. №1.25 (с. 13)
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два возможных случая расположения точек.
1. Предположим, что все $n$ точек лежат на одной прямой (являются коллинеарными). В этом случае очевидно, что все они лежат в одной плоскости, так как через любую прямую можно провести плоскость.
2. Теперь предположим, что не все точки лежат на одной прямой. Это означает, что в данном множестве можно найти как минимум три неколлинеарные точки. Обозначим их $P_1$, $P_2$ и $P_3$.
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту единственную плоскость, проходящую через точки $P_1, P_2, P_3$, как $\alpha$.
Теперь выберем любую другую точку $P_k$ из оставшихся $n-3$ точек (где $k$ — любое целое число от $4$ до $n$). Такая точка существует, поскольку по условию $n > 4$.
Рассмотрим множество, состоящее из четырех точек: $\{P_1, P_2, P_3, P_k\}$.
По условию задачи, каждые 4 из данных $n$ точек лежат в одной плоскости. Следовательно, точки $P_1, P_2, P_3, P_k$ также должны лежать в одной плоскости.
Поскольку точки $P_1, P_2, P_3$ неколлинеарны, они однозначно определяют плоскость $\alpha$. Это означает, что любая плоскость, содержащая эти три точки, должна совпадать с $\alpha$. Следовательно, точка $P_k$ также должна лежать в плоскости $\alpha$.
Так как наш выбор точки $P_k$ был произвольным среди всех точек, отличных от $P_1, P_2$ и $P_3$, мы можем заключить, что все остальные точки данного множества ($P_4, P_5, \dots, P_n$) также лежат в плоскости $\alpha$.
Таким образом, все $n$ точек лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.
Ответ: Доказано, что все $n$ точек лежат в одной плоскости.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 1.25 расположенного на странице 13 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1.25 (с. 13), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.