Номер 1.27, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.27. Пять точек, являющихся серединами звеньев замкнутой ломаной $ABCDE$, принадлежат плоскости $\alpha$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ принадлежат этой же плоскости.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на понятии ориентированного (или знакового) расстояния от точки до плоскости. Пусть $h(P)$ — ориентированное расстояние от точки $P$ до плоскости $\alpha$. Если точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, то $h(P) = 0$. Для середины $M$ отрезка $PQ$ ее ориентированное расстояние до плоскости равно среднему арифметическому ориентированных расстояний от его концов: $h(M) = \frac{h(P) + h(Q)}{2}$.

Пусть $M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}, M_{DE}, M_{EA}$ — середины звеньев $AB, BC, CD, DE, EA$ замкнутой ломаной $ABCDE$ соответственно. По условию, все эти пять точек принадлежат плоскости $\alpha$, следовательно, их ориентированные расстояния до этой плоскости равны нулю.

Используя свойство середины отрезка, мы можем составить систему уравнений для ориентированных расстояний $h(A), h(B), h(C), h(D), h(E)$ вершин ломаной до плоскости $\alpha$:
$h(M_{AB}) = \frac{h(A) + h(B)}{2} = 0 \implies h(A) + h(B) = 0$
$h(M_{BC}) = \frac{h(B) + h(C)}{2} = 0 \implies h(B) + h(C) = 0$
$h(M_{CD}) = \frach(C) + h(D)}{2} = 0 \implies h(C) + h(D) = 0$
$h(M_{DE}) = \frac{h(D) + h(E)}{2} = 0 \implies h(D) + h(E) = 0$
$h(M_{EA}) = \frac{h(E) + h(A)}{2} = 0 \implies h(E) + h(A) = 0$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $h(B) = -h(A)$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $-h(A) + h(C) = 0$, откуда $h(C) = h(A)$.
Подставим $h(C)$ в третье уравнение: $h(A) + h(D) = 0$, откуда $h(D) = -h(A)$.
Подставим $h(D)$ в четвертое уравнение: $-h(A) + h(E) = 0$, откуда $h(E) = h(A)$.
Наконец, подставим полученное выражение для $h(E)$ в пятое уравнение: $h(A) + h(A) = 0$, что дает $2h(A) = 0$, и, следовательно, $h(A) = 0$.

Поскольку $h(A) = 0$, мы можем найти ориентированные расстояния для остальных вершин, используя полученные ранее соотношения:
$h(B) = -h(A) = 0$
$h(C) = h(A) = 0$
$h(D) = -h(A) = 0$
$h(E) = h(A) = 0$

Таким образом, ориентированное расстояние от каждой из вершин $A, B, C, D, E$ до плоскости $\alpha$ равно нулю. Это по определению означает, что все пять точек лежат в плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все точки $A, B, C, D$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$.