Вопросы, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие следствия из аксиом стереометрии вы знаете?

2. Укажите способы однозначного задания плоскости.

Следствия из аксиом стереометрии — это теоремы, которые доказываются непосредственно на основе этих аксиом. Основные следствия следующие:

• Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

  Эта теорема является прямым следствием аксиом. Для доказательства на данной прямой ($a$) выбирают две любые точки ($A$ и $B$). Вместе с точкой, не лежащей на прямой ($M$), они образуют три точки ($A, B, M$), не лежащие на одной прямой. Согласно аксиоме, через эти три точки проходит единственная плоскость. Так как точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $a$ лежит в ней (по другой аксиоме). Таким образом, эта плоскость проходит через прямую $a$ и точку $M$, и она единственна.

• Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

  Для доказательства на одной из пересекающихся прямых ($a$) выбирают точку ($A$), не совпадающую с точкой пересечения ($C$), а на другой прямой ($b$) — точку ($B$), также не совпадающую с $C$. Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, следовательно, через них можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать обе прямые $a$ и $b$, так как по две их точки ($A$ и $C$ для прямой $a$, $B$ и $C$ для прямой $b$) принадлежат этой плоскости.

Ответ: Основные следствия из аксиом стереометрии: 1) через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость; 2) через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Плоскость в пространстве можно однозначно задать (определить) четырьмя способами. Эти способы вытекают из аксиом стереометрии и их следствий:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой.

   Это положение является одной из основных аксиом стереометрии. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.

   Это первое следствие из аксиом. Если дана прямая $a$ и точка $M$ ($M \notin a$), то они однозначно определяют плоскость.

3. Двумя пересекающимися прямыми.

   Это второе следствие из аксиом. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то они лежат в одной, и только одной, плоскости.

4. Двумя параллельными прямыми.

   По определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Можно доказать, что эта плоскость единственна. Таким образом, две параллельные прямые также однозначно задают плоскость.

Ответ: Способы однозначного задания плоскости: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой вне ее; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми.