Номер 2.9, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.9. Прямые AB и AC пересекают плоскость $\alpha$ в точках B и C, точки D и E принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой DE с плоскостью ABC.

Рис. 2.3

Чтобы построить точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$, нужно найти общую точку для этих прямой и плоскости. Обозначим искомую точку буквой $M$.

Алгоритм построения и обоснование:

1. Рассмотрим две плоскости: заданную плоскость $\alpha$ и плоскость $ABC$.

2. Найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Точка $B$ принадлежит плоскости $ABC$ (по определению плоскости) и принадлежит плоскости $\alpha$ (по условию задачи). Следовательно, точка $B$ лежит на линии пересечения этих плоскостей.

3. Аналогично, точка $C$ принадлежит плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$. Значит, точка $C$ также лежит на линии пересечения этих плоскостей.

4. Через две различные точки проходит единственная прямая. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$ — это прямая $BC$.

5. По условию, точки $D$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $DE$ лежит в плоскости $\alpha$.

6. Искомая точка $M$ является точкой пересечения прямой $DE$ и плоскости $ABC$. Это значит, что точка $M$ должна лежать на прямой $DE$ и одновременно в плоскости $ABC$.

7. Так как точка $M$ лежит на прямой $DE$, а прямая $DE$ полностью находится в плоскости $\alpha$, то точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$.

8. Из шагов 6 и 7 следует, что точка $M$ должна принадлежать и плоскости $ABC$, и плоскости $\alpha$. Следовательно, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $BC$.

9. Таким образом, искомая точка $M$ — это точка, которая принадлежит одновременно двум прямым: $DE$ и $BC$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, их можно построить и найти их точку пересечения (если они не параллельны).

Построение: В плоскости $\alpha$ строим прямую, проходящую через точки $B$ и $C$. Затем строим прямую, проходящую через точки $D$ и $E$. Точка пересечения прямых $BC$ и $DE$ и будет искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $BC$ и $DE$.