Номер 2.21, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.21. Треугольники $ABC$ и $ABC_1$ лежат в разных плоскостях. На сторонах $AC, CB, BC_1$ и $C_1A$ отметили точки $M, N, P$ и $K$ соответственно так, как показано на рисунке $2.9$. Могут ли эти точки принадлежать одной плоскости?

Рис. 2.9

Да, эти точки могут принадлежать одной плоскости. Рассмотрим, при каких условиях это возможно.

Пусть треугольник $ABC$ лежит в плоскости $α$, а треугольник $ABC_1$ лежит в плоскости $β$. Эти две плоскости пересекаются по прямой $AB$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AC$ и $CB$ соответственно, следовательно, прямая $MN$ лежит в плоскости $α$.
Точки $K$ и $P$ лежат на сторонах $C_1A$ и $BC_1$ соответственно, следовательно, прямая $KP$ лежит в плоскости $β$.

Предположим, что все четыре точки $M, N, P, K$ лежат в одной плоскости, назовем ее $γ$.

Тогда плоскость $γ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $MN$, а плоскость $β$ — по прямой $KP$.Согласно теореме о пересечении трех плоскостей, линии пересечения трех плоскостей ($α, β, γ$) либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке.В нашем случае линии пересечения — это $AB$ (пересечение $α$ и $β$), $MN$ (пересечение $α$ и $γ$) и $KP$ (пересечение $β$ и $γ$).

Следовательно, точки $M, N, P, K$ будут лежать в одной плоскости, если выполняется одно из двух условий:

1. Прямые $MN$, $KP$ и $AB$ пересекаются в одной точке.
В плоскости $α$ прямая $MN$ может пересекать прямую $AB$ в некоторой точке $S$. В плоскости $β$ прямая $KP$ также может пересекать прямую $AB$ в некоторой точке $S'$. Если мы выберем точки $M, N, K, P$ таким образом, чтобы точки $S$ и $S'$ совпали, то все три прямые пересекутся в одной точке. В этом случае прямые $MN$ и $KP$ пересекаются, а значит, определяют единственную плоскость $γ$. Точки $M, N, P, K$ будут лежать в этой плоскости.

2. Прямые $MN$, $KP$ и $AB$ параллельны.
Прямая $MN$ будет параллельна прямой $AB$ (по теореме о пропорциональных отрезках), если точки $M$ и $N$ делят стороны $AC$ и $BC$ в одинаковом отношении, считая от вершины $C$, то есть $CM/MA = CN/NB$.
Аналогично, прямая $KP$ будет параллельна прямой $AB$, если $C_1K/KA = C_1P/PB$.
Если оба этих условия выполнены, то $MN \parallel AB$ и $KP \parallel AB$, а значит $MN \parallel KP$. Две параллельные прямые ($MN$ и $KP$) всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, все четыре точки $M, N, P, K$ будут принадлежать одной плоскости.

Поскольку существуют условия, при которых эти четыре точки могут лежать в одной плоскости, то ответ на вопрос положительный.

Ответ: Да, могут.