Номер 2.22, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.22. Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две из трёх прямых пересечения этих плоскостей пересекаются в точке $A$. Докажите, что третья прямая проходит через точку $A$.

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Их попарное пересечение образует три прямые: прямую $l_1 = \alpha \cap \beta$, прямую $l_2 = \alpha \cap \gamma$ и прямую $l_3 = \beta \cap \gamma$.

Согласно условию задачи, две из этих прямых пересекаются в точке $A$. Без ограничения общности, предположим, что это прямые $l_1$ и $l_2$. Точка $A$ является точкой их пересечения, что означает, что точка $A$ принадлежит каждой из этих прямых: $A \in l_1$ и $A \in l_2$.

Рассмотрим, что это означает с точки зрения принадлежности плоскостям:

1. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $l_1$ ($A \in l_1$), а прямая $l_1$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то точка $A$ принадлежит обеим этим плоскостям. Таким образом, $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.

2. Аналогично, поскольку точка $A$ лежит на прямой $l_2$ ($A \in l_2$), а прямая $l_2$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, то точка $A$ принадлежит обеим этим плоскостям. Таким образом, $A \in \alpha$ и $A \in \gamma$.

Объединяя эти два вывода, мы получаем, что точка $A$ является общей точкой для всех трех плоскостей: $A \in \alpha$, $A \in \beta$ и $A \in \gamma$.

Теперь рассмотрим третью прямую, $l_3$. По определению, эта прямая является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ ($l_3 = \beta \cap \gamma$). Это значит, что прямая $l_3$ состоит из всех точек, которые принадлежат одновременно и плоскости $\beta$, и плоскости $\gamma$.

Поскольку мы уже установили, что точка $A$ принадлежит как плоскости $\beta$, так и плоскости $\gamma$, она по определению должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $l_3$.

Следовательно, третья прямая $l_3$ проходит через точку $A$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $A$, как точка пересечения двух прямых ($l_1 = \alpha \cap \beta$ и $l_2 = \alpha \cap \gamma$), принадлежит всем трем плоскостям ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Третья прямая ($l_3 = \beta \cap \gamma$) является множеством всех общих точек плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Так как точка $A$ принадлежит обеим этим плоскостям, она обязана принадлежать и третьей прямой.