Номер 2.24, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.24. На рисунке 2.10 буквами $P$, $E$ и $Q$ обозначены точки пересечения прямых $MK$ и $BC$, $MN$ и $CA$, $KN$ и $AB$ соответственно. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $MNK$ совпадают?

Рис. 2.10

Для ответа на данный вопрос проанализируем взаимное расположение плоскостей $ABC$ и $MNK$. Обозначим плоскость, содержащую треугольник $ABC$, как $\alpha$, а плоскость, содержащую треугольник $MNK$, как $\beta$.

По условию задачи, точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $BC$. Это означает, что точка $P$ принадлежит как прямой $MK$, так и прямой $BC$.

• Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ (по определению плоскости $ABC$), то точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$).
• Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MK$, а прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $\beta$ (по определению плоскости $MNK$), то точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$).

Таким образом, точка $P$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично рассмотрим точки $E$ и $Q$.

• Точка $E$ является точкой пересечения прямых $MN$ и $CA$ ($E = MN \cap CA$). Так как $E \in CA$ и $CA \subset \alpha$, то $E \in \alpha$. Так как $E \in MN$ и $MN \subset \beta$, то $E \in \beta$. Следовательно, точка $E$ также является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
• Точка $Q$ является точкой пересечения прямых $KN$ и $AB$ ($Q = KN \cap AB$). Так как $Q \in AB$ и $AB \subset \alpha$, то $Q \in \alpha$. Так как $Q \in KN$ и $KN \subset \beta$, то $Q \in \beta$. Следовательно, точка $Q$ также является общей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Итак, мы установили, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют три общие точки: $P, E$ и $Q$.

Из аксиом стереометрии известно, что если две плоскости имеют три общие точки, то возможны два случая:

1. Эти три точки не лежат на одной прямой. В этом случае они однозначно определяют плоскость, и, так как обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через эти три точки, они должны совпадать.
2. Эти три точки лежат на одной прямой. В этом случае плоскости могут быть различны, и их линией пересечения будет прямая, содержащая эти три точки.

Условия задачи не накладывают ограничений, которые бы исключали второй случай. Можно построить пространственную конфигурацию, в которой все условия задачи выполняются, но плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны. Для этого достаточно взять две различные пересекающиеся плоскости, на их линии пересечения выбрать три точки $P, E, Q$, а затем в каждой из плоскостей построить по треугольнику ($ABC$ в одной и $MNK$ в другой) так, чтобы их соответственные стороны проходили через эти точки.

Поскольку существует контрпример, в котором условия задачи выполнены, а плоскости $ABC$ и $MNK$ не совпадают, общее утверждение "плоскости $ABC$ и $MNK$ совпадают" является неверным.

Ответ: Нет, неверно.