Номер 1.3, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1.3. Изобразите плоскость $\alpha$ и прямую $b$, пересекающую данную плоскость в точке $A$. Запишите это с помощью соответствующих символов. Сколько точек прямой $b$ принадлежит плоскости $\alpha$?

Изображение плоскости α и прямой b

Для наглядного представления плоскости в пространстве обычно используют фигуру параллелограмма. Прямая, которая пересекает эту плоскость, изображается в виде линии, "пронзающей" этот параллелограмм. Часть прямой, которая с точки зрения наблюдателя находится за плоскостью, принято изображать пунктирной линией. Точка пересечения отмечается отдельно.

Ниже представлено требуемое изображение: плоскость $ \alpha $, которую пересекает прямая $ b $ в точке $ A $.

Ответ: Изображение и его описание представлены выше.

Символическая запись

Утверждение "прямая $ b $ пересекает плоскость $ \alpha $ в точке $ A $" означает, что точка $ A $ является единственным общим элементом для прямой $ b $ и плоскости $ \alpha $. В геометрии для обозначения пересечения используется символ $ \cap $.

Таким образом, символическая запись данного факта выглядит так: $ b \cap \alpha = A $.

Эта запись эквивалентна системе из двух утверждений: точка $ A $ принадлежит прямой $ b $ ($ A \in b $) и точка $ A $ принадлежит плоскости $ \alpha $ ($ A \in \alpha $).

Ответ: $b \cap \alpha = A$.

Сколько точек прямой b принадлежит плоскости α?

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве определяется аксиомами стереометрии. Возможны три случая:

1. Прямая лежит в плоскости (у них бесконечно много общих точек).
2. Прямая параллельна плоскости (у них нет общих точек).
3. Прямая пересекает плоскость.

Согласно аксиоме, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с этой плоскостью не более одной общей точки.

В условии задачи сказано, что прямая $ b $ пересекает плоскость $ \alpha $. По определению это и означает, что прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку. Эта точка и есть точка их пересечения $ A $. Если бы существовала еще хотя бы одна общая точка, то, согласно другой аксиоме, вся прямая $ b $ целиком лежала бы в плоскости $ \alpha $, что противоречит условию (в таком случае говорят, что прямая принадлежит плоскости, а не пересекает ее).

Следовательно, плоскости $ \alpha $ принадлежит ровно одна точка прямой $ b $.

Ответ: 1.