Вопросы, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения?

2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?

3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?

4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?

5. Сформулируйте аксиомы $A1$, $A2$, $A3$, $A4$, $A5$, $A6$.

1. В математике, как и в любой другой науке, построенной на строгой логике, есть исходные положения, которые принимаются без определения. Такие первоначальные понятия называют основными или неопределяемыми понятиями. Они служат фундаментом для определения всех последующих, более сложных понятий.
Ответ: Основные (или неопределяемые) понятия.

2. Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В список её основных (неопределяемых) понятий входят три фундаментальные геометрические фигуры: точка, прямая и плоскость.
Ответ: Точка, прямая, плоскость.

3. Говорят, что прямая пересекает плоскость, если у них есть только одна общая точка. Взаимное расположение прямой и плоскости может быть трёх видов: прямая лежит в плоскости (бесконечно много общих точек), прямая параллельна плоскости (нет общих точек) или прямая пересекает плоскость.
Ответ: Если прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку.

4. Говорят, что две различные плоскости пересекаются, если у них есть общие точки. Множество всех общих точек двух пересекающихся плоскостей образует прямую линию. Если у плоскостей нет общих точек, их называют параллельными.
Ответ: Если они имеют общую прямую.

5. Аксиомы — это исходные утверждения, принимаемые без доказательства. Формулировки и нумерация аксиом могут отличаться в разных учебниках. Ниже представлен один из возможных наборов, объединяющий аксиомы планиметрии и стереометрии.
A1: Через любые две точки пространства проходит прямая, и притом только одна.
A2: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
A3: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
A4: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
A5: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
A6 (Аксиома параллельности): Через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Ответ:
A1: Через любые две точки проходит единственная прямая.
A2: Из трёх точек на прямой ровно одна лежит между двумя другими.
A3: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
A4: Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
A5: Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.
A6: Через точку вне прямой в их общей плоскости проходит единственная прямая, параллельная данной.