Номер 3.9, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.9. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.31). Точка $E$ принадлежит прямой $A_1B_1$, точка $F$ — прямой $BB_1$, точка $M$ — прямой $B_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью $EFM$.

а

б

в

г

Рис. 3.31

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через три точки $E, F, M$, используется метод следов. Суть метода заключается в нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы. Вершинами искомого сечения являются точки пересечения этих следов с ребрами призмы.

Обозначим секущую плоскость как $\alpha = (EFM)$.

а

В данном случае точки $E, F, M$ лежат на ребрах призмы: $E \in [A_1B_1]$, $F \in [BB_1]$, $M \in [B_1C_1]$.

1. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является стороной сечения и лежит на этой грани.
2. Точки $F$ и $M$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $FM$ является стороной сечения и лежит на этой грани.
3. Точки $E$ и $M$ лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок $EM$ является стороной сечения и лежит на этой грани.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник, вершины которого — заданные точки $E, F, M$.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $EFM$.

б

В данном случае точка $M$ лежит на ребре $B_1C_1$, а точки $E$ и $F$ лежат на продолжениях ребер $A_1B_1$ и $BB_1$ соответственно.

1. Точка $M$ лежит на ребре $B_1C_1$, значит, $M$ — одна из вершин сечения.
2. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $A_1B_1C_1D_1$. Этот след проходит через точки $E$ и $M$. Проведем прямую $EM$. Она пересекает ребро $A_1D_1$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ — сторона сечения.
3. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $BCC_1B_1$. Этот след проходит через точки $F$ и $M$. Проведем прямую $FM$. Она пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $Q$. Отрезок $MQ$ — сторона сечения.
4. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $ABB_1A_1$. Этот след проходит через точки $E$ и $F$. Проведем прямую $EF$. Она пересекает ребро $AA_1$ в точке $R$ и ребро $AB$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — сторона сечения.
5. Теперь у нас есть вершины сечения: $M \in B_1C_1$, $P \in A_1D_1$, $Q \in BC$, $R \in AA_1$, $S \in AB$. Соединим последовательно вершины, лежащие на одной грани:
   • $PM$ на грани $A_1B_1C_1D_1$.
   • $MQ$ на грани $BCC_1B_1$.
   • $QS$ на грани $ABCD$ (точки $Q$ и $S$ лежат в плоскости основания).
   • $SR$ на грани $ABB_1A_1$.
   • $RP$ на грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $PMQSR$.

в

В данном случае точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, а точки $F$ и $M$ лежат на продолжениях ребер $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

1. Точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, значит, $E$ — одна из вершин сечения.
2. Проведем прямую $EM$ в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Она пересекает ребро $C_1D_1$ в точке $P$. Отрезок $EP$ — сторона сечения.
3. Проведем прямую $EF$ в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Она пересекает ребро $AB$ в точке $Q$. Отрезок $EQ$ — сторона сечения.
4. Теперь найдем след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$. У нас уже есть одна точка этого следа — $Q$. Найдем вторую. Для этого проведем прямую $FM$ в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Она пересечет ребро $BC$ в точке $R$. Прямая $QR$ — это след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Отрезок $QR$ — сторона сечения.
5. Вернемся к прямой $FM$. Она также пересекает ребро $CC_1$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — сторона сечения на грани $BCC_1B_1$.
6. Осталось соединить точки $P$ и $S$. Обе точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Отрезок $PS$ — последняя сторона сечения.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EQRSP$.

г

В данном случае все три точки $E, F, M$ лежат вне призмы, на продолжениях ее ребер.

1. Построим след плоскости $\alpha$ на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Проведем прямую $EM$. Она пересекает ребра $A_1D_1$ и $D_1C_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — сторона сечения.
2. Построим след плоскости $\alpha$ на боковой грани $BCC_1B_1$. Проведем прямую $FM$. Она пересекает ребра $BC$ и $CC_1$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Отрезок $RS$ — сторона сечения.
3. Построим след плоскости $\alpha$ на передней грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую $EF$. Она пересекает ребра $AB$ и $AA_1$ в точках $T$ и $U$ соответственно. Отрезок $TU$ — сторона сечения.
4. Мы получили шесть вершин сечения на ребрах призмы: $P, Q, S, R, T, U$. Теперь соединим их последовательно по граням:
   • $PQ$ на грани $A_1B_1C_1D_1$.
   • $QS$ на грани $CDD_1C_1$ (точки $Q \in C_1D_1$ и $S \in CC_1$).
   • $SR$ на грани $BCC_1B_1$.
   • $RT$ на грани $ABCD$ (точки $R \in BC$ и $T \in AB$).
   • $TU$ на грани $ABB_1A_1$.
   • $UP$ на грани $ADD_1A_1$ (точки $U \in AA_1$ и $P \in A_1D_1$).

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $PQSRTU$.