Номер 3.15, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.15. Дана пирамида $SABCDE$ (рис. 3.37). Постройте линию пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$.

Рис. 3.37

Для того чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться искомой линией пересечения.

В нашем случае нужно построить линию пересечения плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$.

1. Нахождение первой общей точки.
Вершина пирамиды $S$ по определению принадлежит обеим плоскостям, так как она входит в названия обеих плоскостей: $(A\underline{S}E)$ и $(B\underline{S}C)$. Следовательно, точка $S$ — это первая общая точка двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.
Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые, которые лежат в данных плоскостях. Прямая $AE$ лежит в плоскости $(ASE)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $(BSC)$. Обе эти прямые ($AE$ и $BC$) одновременно лежат в плоскости основания пирамиды $(ABCDE)$. Так как прямые лежат в одной плоскости и не являются параллельными (что следует из общего вида пятиугольного основания на рисунке), они должны пересечься.
Построим продолжения отрезков $AE$ и $BC$ до их пересечения. Обозначим точку их пересечения буквой $M$. Таким образом, $M = AE \cap BC$.

Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $AE$, то она принадлежит и плоскости $(ASE)$.
Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $BC$, то она принадлежит и плоскости $(BSC)$.
Следовательно, точка $M$ является второй общей точкой для плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$.

3. Построение линии пересечения.
Мы нашли две общие точки $S$ и $M$ для плоскостей $(ASE)$ и $(BSC)$. Прямая, проходящая через эти две точки, и есть линия их пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $SM$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $E$.
2. Провести прямую через точки $B$ и $C$.
3. Найти точку пересечения этих прямых: $M$.
4. Провести прямую через точки $S$ и $M$.

Полученная прямая $SM$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ASE$ и $BSC$ является прямая $SM$, где $S$ — вершина пирамиды, а $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BC$.