Номер 3.22, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.22. На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.43). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.43

Для построения сечения тетраэдра DABC плоскостью MNK необходимо найти линии пересечения (следы) этой плоскости с гранями тетраэдра. Эти следы в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением.

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани. Точки M и K находятся на ребрах AB и BD соответственно, которые принадлежат грани DAB. Таким образом, отрезок MK является следом секущей плоскости на грани DAB.

Аналогично, точки K и N лежат на ребрах BD и CD, принадлежащих грани DBC. Следовательно, отрезок KN — это след секущей плоскости на грани DBC.

Далее найдем след секущей плоскости на плоскости основания ABC. Для этого воспользуемся методом вспомогательных прямых. Прямая KN лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани DBC. Прямая BC лежит и в плоскости основания ABC, и в плоскости грани DBC. Поскольку прямые KN и BC лежат в одной плоскости (DBC), они пересекаются в некоторой точке P (если они не параллельны, что является общим случаем). Математически это записывается как $P = KN \cap BC$.

Точка P принадлежит прямой KN, а значит, и секущей плоскости (MNK). Также точка P принадлежит прямой BC, а значит, и плоскости основания (ABC). Точка M по условию также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая, проходящая через точки M и P, является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью основания ABC.

Проведем эту прямую MP в плоскости основания. Она пересечет ребро AC в некоторой точке L. Эта точка $L = MP \cap AC$ является четвертой вершиной искомого сечения.

Теперь, имея все вершины сечения (M, K, N и L), мы можем завершить построение. Соединим точку L с точкой N (отрезок LN лежит в грани ADC) и с точкой M (отрезок LM лежит в грани ABC). В результате получаем замкнутый четырехугольник MKNL.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник MKNL. Его вершины M, K, N заданы по условию на ребрах AB, BD и CD соответственно, а четвертая вершина L является точкой пересечения ребра AC с прямой MP, где P — точка пересечения продолжений отрезков KN и BC.