Страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.19. На рёбрах $AB$, $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $M$ (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью $EFM$.

Рис. 3.40

Для построения сечения куба $ABC D A_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFM$ необходимо последовательно найти точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Построение будем выполнять пошагово, используя метод следов и свойство параллельности граней куба.

Шаг 1. Построение линии пересечения с гранью $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $AB$ и $AD$ соответственно. Так как оба ребра принадлежат одной грани $ABCD$, то точки $E$ и $F$ лежат в плоскости этой грани. Соединим их отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости $EFM$ с гранью $ABCD$.

Шаг 2. Использование метода следов для нахождения точек в смежных гранях.

Продлим прямую $EF$, лежащую в плоскости $ABCD$, до пересечения с прямой, содержащей ребро $CD$. Обозначим точку их пересечения $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $EF$) и одновременно плоскости задней грани $CDD_1C_1$ (так как лежит на прямой $CD$).

В плоскости грани $CDD_1C_1$ теперь у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $M$ (по условию) и построенная точка $P$. Проведем через них прямую $MP$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани $CDD_1C_1$.

Прямая $MP$ пересекает ребро $DD_1$ в точке, которую обозначим $K$. Отрезок $MK$ является стороной искомого сечения.

Теперь рассмотрим грань $ADD_1A_1$. В ней лежат две точки секущей плоскости: точка $F$ (по условию) и построенная точка $K$. Соединив их, получим отрезок $FK$ — еще одну сторону сечения.

Шаг 3. Использование свойства параллельности граней.

Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Поэтому линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна отрезку $FK$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $FK$. Точка пересечения этой прямой с ребром $B_1C_1$ даст нам новую вершину сечения — точку $L$. Отрезок $ML$ — сторона сечения.

Аналогично, нижняя грань $ABCD$ параллельна верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Значит, след секущей плоскости на верхней грани будет параллелен следу на нижней, то есть отрезку $EF$. Проведем через построенную точку $L$ прямую, параллельную $EF$. Точка пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ даст нам вершину $N$. Отрезок $LN$ — сторона сечения.

Шаг 4. Завершение построения.

Мы получили точку $N$ на ребре $A_1B_1$ и имеем исходную точку $E$ на ребре $AB$. Обе эти точки лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $NE$. Этот отрезок замыкает многоугольник сечения.

Полученный шестиугольник $EFKMLN$ и является искомым сечением куба плоскостью $EFM$.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EFKMLN$, построение которого описано выше.

3.20. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью $EB_1F$.

Рис. 3.41

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $B_1$ и $F$, выполним следующие шаги:

1. Точки $E$ и $B_1$ лежат в одной плоскости грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $EB_1$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$ и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Аналогично, точки $B_1$ и $F$ лежат в одной плоскости грани $BB_1C_1C$. Соединим их отрезком $B_1F$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Воспользуемся свойством параллельных граней куба. Грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Секущая плоскость $(EB_1F)$ пересекает грань $BB_1C_1C$ по прямой $B_1F$. Следовательно, она должна пересечь параллельную ей грань $AA_1D_1D$ по прямой, параллельной $B_1F$.

4. Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $AA_1D_1D$. Поэтому через точку $E$ в плоскости грани $AA_1D_1D$ проведем прямую, параллельную $B_1F$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $G$. Отрезок $EG$ является третьей стороной сечения. Таким образом, по построению $EG \parallel B_1F$.

5. Точки $F$ и $G$ теперь лежат в одной плоскости задней грани $CC_1D_1D$. Соединим их отрезком $FG$, который будет четвертой, замыкающей стороной сечения.

В результате построен четырехугольник $EB_1FG$. Этот четырехугольник и является искомым сечением куба.

Заметим, что полученное сечение является параллелограммом. По построению мы имеем $EG \parallel B_1F$. Кроме того, грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым $EB_1$ и $FG$. Так как в четырехугольнике $EB_1FG$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $EB_1FG$, где точка $G$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ с прямой, проведенной в плоскости грани $AA_1D_1D$ через точку $E$ параллельно прямой $B_1F$. Полученное сечение является параллелограммом.

3.21. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 3.42

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и $K$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости одной грани куба — грани $BCC_1B_1$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$ и одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости одной грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $FK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $CDD_1C_1$ и второй стороной сечения.

3. Грани куба $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны ($ABB_1A_1 \parallel CDD_1C_1$). По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения также параллельны. Секущая плоскость $EFK$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой $FK$. Следовательно, секущая плоскость должна пересекать грань $ABB_1A_1$ по прямой, параллельной прямой $FK$.

4. Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $ABB_1A_1$. Значит, искомая линия пересечения на грани $ABB_1A_1$ проходит через точку $E$. Проведем через точку $E$ в плоскости грани $ABB_1A_1$ прямую, параллельную $FK$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке, которую мы обозначим $L$. Отрезок $EL$ является третьей стороной сечения.

5. Точки $L$ и $K$ принадлежат плоскости грани $ADD_1A_1$ (точка $L$ на ребре $AA_1$, точка $K$ на ребре $DD_1$). Соединим их отрезком. Отрезок $LK$ – четвертая, замыкающая сторона сечения, являющаяся линией пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$.

В результате построений получен четырехугольник $EFKL$, который и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник $EFKL$, где $L$ – точка на ребре $AA_1$, такая, что прямая $EL$ параллельна прямой $FK$.

3.22. На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.43). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.43

Для построения сечения тетраэдра DABC плоскостью MNK необходимо найти линии пересечения (следы) этой плоскости с гранями тетраэдра. Эти следы в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением.

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани. Точки M и K находятся на ребрах AB и BD соответственно, которые принадлежат грани DAB. Таким образом, отрезок MK является следом секущей плоскости на грани DAB.

Аналогично, точки K и N лежат на ребрах BD и CD, принадлежащих грани DBC. Следовательно, отрезок KN — это след секущей плоскости на грани DBC.

Далее найдем след секущей плоскости на плоскости основания ABC. Для этого воспользуемся методом вспомогательных прямых. Прямая KN лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани DBC. Прямая BC лежит и в плоскости основания ABC, и в плоскости грани DBC. Поскольку прямые KN и BC лежат в одной плоскости (DBC), они пересекаются в некоторой точке P (если они не параллельны, что является общим случаем). Математически это записывается как $P = KN \cap BC$.

Точка P принадлежит прямой KN, а значит, и секущей плоскости (MNK). Также точка P принадлежит прямой BC, а значит, и плоскости основания (ABC). Точка M по условию также принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, прямая, проходящая через точки M и P, является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью основания ABC.

Проведем эту прямую MP в плоскости основания. Она пересечет ребро AC в некоторой точке L. Эта точка $L = MP \cap AC$ является четвертой вершиной искомого сечения.

Теперь, имея все вершины сечения (M, K, N и L), мы можем завершить построение. Соединим точку L с точкой N (отрезок LN лежит в грани ADC) и с точкой M (отрезок LM лежит в грани ABC). В результате получаем замкнутый четырехугольник MKNL.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник MKNL. Его вершины M, K, N заданы по условию на ребрах AB, BD и CD соответственно, а четвертая вершина L является точкой пересечения ребра AC с прямой MP, где P — точка пересечения продолжений отрезков KN и BC.

3.23. На рёбрах $AB$, $BC$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.44

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Построение можно выполнить в несколько шагов:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $AB$ и $BC$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани $(ABC)$, поэтому точки $M$ и $K$ лежат в плоскости этой грани. Соединив их, мы получим отрезок $MK$, который является одной из сторон искомого сечения — линией пересечения секущей плоскости с гранью $(ABC)$.
2. Аналогично, точки $K$ и $N$ лежат на ребрах $BC$ и $CD$, принадлежащих грани $(BCD)$. Соединив их, получим отрезок $KN$ — еще одну сторону сечения, являющуюся линией пересечения секущей плоскости с гранью $(BCD)$.
3. Чтобы найти остальные стороны сечения, необходимо найти точку пересечения секущей плоскости с ребром $AD$. Для этого воспользуемся методом следов. Прямые $MK$ и $AC$ лежат в одной плоскости $(ABC)$. Продлим их до пересечения в точке $E$. Таким образом, $E = MK \cap AC$.
4. Точка $E$ принадлежит прямой $MK$, а значит, лежит в секущей плоскости $(MNK)$. Также точка $E$ принадлежит прямой $AC$, а значит, лежит в плоскости грани $(ACD)$. Точка $N$ по условию принадлежит ребру $CD$, следовательно, она также лежит в плоскости $(ACD)$ и в секущей плоскости $(MNK)$.
5. Поскольку обе точки, $E$ и $N$, принадлежат как секущей плоскости $(MNK)$, так и плоскости грани $(ACD)$, то прямая, проходящая через них, является линией пересечения этих двух плоскостей. Проведем прямую $EN$.
6. Искомая четвертая вершина сечения является точкой пересечения секущей плоскости с ребром $AD$. Так как ребро $AD$ лежит в плоскости $(ACD)$, эта точка должна лежать на линии пересечения $EN$ и ребра $AD$. Обозначим эту точку как $P$. Таким образом, $P = EN \cap AD$.
7. Теперь у нас есть все вершины сечения: $M$, $K$, $N$, $P$. Соединяем точку $P$ с точкой $M$ (обе лежат в грани $(ABD)$) и с точкой $N$ (обе лежат в грани $(ACD)$).

Полученный четырехугольник $MKNP$ является искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MKNP$, где точка $P$ является точкой пересечения ребра $AD$ и прямой $EN$, а точка $E$ — точкой пересечения прямых $MK$ и $AC$.

3.24. На рёбрах $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на ребре $CD$ — точки $M$ и $K$ так, что точка $K$ лежит между точками $C$ и $M$ (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей $ABM$ и $EFK$.

Рис. 3.45

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(ABM)$ и $(EFK)$, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим этим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Построение состоит из следующих этапов:

1. Нахождение первой общей точки

Рассмотрим грань тетраэдра $BCD$. Плоскости $(ABM)$ и $(EFK)$ пересекают плоскость этой грани по прямым, которые также лежат в плоскости $(BCD)$.

• Прямая $BM$ принадлежит плоскости $(ABM)$, так как точки $B$ и $M$ лежат в этой плоскости. Также прямая $BM$ лежит в плоскости грани $(BCD)$, так как точка $B$ является вершиной этой грани, а точка $M$ лежит на ее ребре $CD$.
• Прямая $FK$ принадлежит плоскости $(EFK)$, так как точки $F$ и $K$ лежат в этой плоскости. Также прямая $FK$ лежит в плоскости грани $(BCD)$, так как точка $F$ лежит на ребре $BD$, а точка $K$ — на ребре $CD$.

Поскольку обе прямые, $BM$ и $FK$, лежат в одной плоскости $(BCD)$, они пересекаются (предполагая общий случай, когда они не параллельны). Обозначим точку их пересечения через $X$.

$X = BM \cap FK$

Так как точка $X$ лежит на прямой $BM$, она принадлежит плоскости $(ABM)$. Так как точка $X$ лежит на прямой $FK$, она принадлежит плоскости $(EFK)$. Следовательно, $X$ — первая общая точка искомых плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Аналогично найдем вторую общую точку, рассмотрев грань $ACD$.

• Прямая $AM$ принадлежит плоскости $(ABM)$. Также прямая $AM$ лежит в плоскости грани $(ACD)$, так как точка $A$ является вершиной этой грани, а точка $M$ лежит на ее ребре $CD$.
• Прямая $EK$ принадлежит плоскости $(EFK)$. Также прямая $EK$ лежит в плоскости грани $(ACD)$, так как точка $E$ лежит на ребре $AC$, а точка $K$ — на ребре $CD$.

Поскольку обе прямые, $AM$ и $EK$, лежат в одной плоскости $(ACD)$, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения через $Y$.

$Y = AM \cap EK$

Так как точка $Y$ лежит на прямой $AM$, она принадлежит плоскости $(ABM)$. Так как точка $Y$ лежит на прямой $EK$, она принадлежит плоскости $(EFK)$. Следовательно, $Y$ — вторая общая точка искомых плоскостей.

3. Построение линии пересечения

Мы нашли две точки, $X$ и $Y$, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям $(ABM)$ и $(EFK)$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, прямая $XY$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(EFK)$ — это прямая $XY$, где $X$ — точка пересечения прямых $BM$ и $FK$, а $Y$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EK$.