Номер 3.24, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.24. На рёбрах $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на ребре $CD$ — точки $M$ и $K$ так, что точка $K$ лежит между точками $C$ и $M$ (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей $ABM$ и $EFK$.

Рис. 3.45

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $(ABM)$ и $(EFK)$, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим этим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Построение состоит из следующих этапов:

1. Нахождение первой общей точки

Рассмотрим грань тетраэдра $BCD$. Плоскости $(ABM)$ и $(EFK)$ пересекают плоскость этой грани по прямым, которые также лежат в плоскости $(BCD)$.

• Прямая $BM$ принадлежит плоскости $(ABM)$, так как точки $B$ и $M$ лежат в этой плоскости. Также прямая $BM$ лежит в плоскости грани $(BCD)$, так как точка $B$ является вершиной этой грани, а точка $M$ лежит на ее ребре $CD$.
• Прямая $FK$ принадлежит плоскости $(EFK)$, так как точки $F$ и $K$ лежат в этой плоскости. Также прямая $FK$ лежит в плоскости грани $(BCD)$, так как точка $F$ лежит на ребре $BD$, а точка $K$ — на ребре $CD$.

Поскольку обе прямые, $BM$ и $FK$, лежат в одной плоскости $(BCD)$, они пересекаются (предполагая общий случай, когда они не параллельны). Обозначим точку их пересечения через $X$.

$X = BM \cap FK$

Так как точка $X$ лежит на прямой $BM$, она принадлежит плоскости $(ABM)$. Так как точка $X$ лежит на прямой $FK$, она принадлежит плоскости $(EFK)$. Следовательно, $X$ — первая общая точка искомых плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки

Аналогично найдем вторую общую точку, рассмотрев грань $ACD$.

• Прямая $AM$ принадлежит плоскости $(ABM)$. Также прямая $AM$ лежит в плоскости грани $(ACD)$, так как точка $A$ является вершиной этой грани, а точка $M$ лежит на ее ребре $CD$.
• Прямая $EK$ принадлежит плоскости $(EFK)$. Также прямая $EK$ лежит в плоскости грани $(ACD)$, так как точка $E$ лежит на ребре $AC$, а точка $K$ — на ребре $CD$.

Поскольку обе прямые, $AM$ и $EK$, лежат в одной плоскости $(ACD)$, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения через $Y$.

$Y = AM \cap EK$

Так как точка $Y$ лежит на прямой $AM$, она принадлежит плоскости $(ABM)$. Так как точка $Y$ лежит на прямой $EK$, она принадлежит плоскости $(EFK)$. Следовательно, $Y$ — вторая общая точка искомых плоскостей.

3. Построение линии пересечения

Мы нашли две точки, $X$ и $Y$, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям $(ABM)$ и $(EFK)$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, прямая $XY$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(EFK)$ — это прямая $XY$, где $X$ — точка пересечения прямых $BM$ и $FK$, а $Y$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EK$.