Номер 3.30, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.30. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.

Для того чтобы сечение куба плоскостью было пятиугольником, секущая плоскость должна пересекать ровно пять из шести граней куба. Чтобы добиться этого, нужно выбрать три точки таким образом, чтобы они не лежали в одной или параллельных гранях и чтобы плоскость, проходящая через них, "задевала" пять граней.

Рассмотрим один из возможных примеров расположения точек и построим соответствующее сечение.

Построение

1. Выберем на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ три точки: точку $P$ на ребре $AB$, точку $Q$ на ребре $AD$ и точку $R$ на ребре $CC_1$.
2. Шаг 1. Точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим их отрезком. Отрезок $PQ$ является стороной искомого сечения.
3. Шаг 2. Для нахождения остальных вершин сечения воспользуемся методом следов. Продлим отрезок $PQ$ в обе стороны до пересечения с продолжениями ребер $BC$ и $DC$.
   • Пусть прямая $PQ$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$.
   • Пусть прямая $PQ$ пересекает прямую $DC$ в точке $Y$.
   Точки $X$ и $Y$ лежат на следе секущей плоскости в плоскости $ABCD$.
4. Шаг 3. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Точка $R$ (на ребре $CC_1$) и точка $X$ (на продолжении ребра $BC$) принадлежат как плоскости этой грани, так и секущей плоскости. Проведем через них прямую $RX$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $S$. Точка $S$ — это еще одна вершина нашего сечения.
5. Шаг 4. Аналогично рассмотрим грань $DCC_1D_1$. Точка $R$ (на ребре $CC_1$) и точка $Y$ (на продолжении ребра $DC$) принадлежат плоскости этой грани и секущей плоскости. Проведем через них прямую $RY$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $T$. Точка $T$ — пятая вершина сечения.
6. Шаг 5. Теперь соединим все найденные вершины, которые лежат на ребрах куба, отрезками. Каждая пара соседних вершин лежит в одной грани куба:
   • $Q \in AD$ и $P \in AB$ лежат в грани $ABCD$. Соединяем $QP$.
   • $P \in AB$ и $S \in BB_1$ лежат в грани $ABB_1A_1$. Соединяем $PS$.
   • $S \in BB_1$ и $R \in CC_1$ лежат в грани $BCC_1B_1$. Соединяем $SR$.
   • $R \in CC_1$ и $T \in DD_1$ лежат в грани $DCC_1D_1$. Соединяем $RT$.
   • $T \in DD_1$ и $Q \in AD$ лежат в грани $ADD_1A_1$. Соединяем $TQ$.

В результате построен многоугольник $QPSRT$. У него 5 вершин и 5 сторон, следовательно, это пятиугольник. Секущая плоскость пересекает 5 граней куба: $ABCD$, $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $DCC_1D_1$ и $ADD_1A_1$.

Ответ: Чтобы сечение куба было пятиугольником, можно отметить одну точку на ребре $AB$, вторую точку на смежном ребре $AD$, и третью точку на ребре $CC_1$.