Номер 3.37, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.37. Точки $F$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ASB$, $ABC$ и $CSD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью $FMK$.

Рис. 3.55

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три заданные точки F, M и K, воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды. Затем, используя этот след, мы последовательно находим линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями пирамиды и, таким образом, строим сам многоугольник сечения.

Обозначим секущую плоскость как $(\alpha) = (FMK)$, а плоскость основания пирамиды — $(ABCD)$.

1. Построение следа плоскости $(\alpha)$ на плоскости основания $(ABCD)$.

   След — это прямая, по которой плоскость $(\alpha)$ пересекает плоскость $(ABCD)$. Для построения прямой необходимы две точки. Одна точка, M, по условию уже принадлежит обеим плоскостям. Найдем вторую точку пересечения.

   1. Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $FK$ (которая лежит в секущей плоскости $(\alpha)$) с плоскостью основания $(ABCD)$. Для этого применим метод вспомогательных проекций с центром в вершине пирамиды S.
   2. Спроецируем точку F, лежащую на грани $ASB$, на плоскость основания. Проведем прямую через вершину S и точку F до пересечения с прямой $AB$ в точке $F_1$. Таким образом, $F_1 = SF \cap AB$. Точки S, F, и $F_1$ лежат на одной прямой.
   3. Аналогично спроецируем точку K, лежащую на грани $CSD$. Проведем прямую через S и K до пересечения с прямой $CD$ в точке $K_1$. Таким образом, $K_1 = SK \cap CD$. Точки S, K, и $K_1$ лежат на одной прямой.
   4. Теперь рассмотрим прямые $FK$ и $F_1K_1$. Прямая $FK$ лежит в секущей плоскости $(\alpha)$, а прямая $F_1K_1$ — в плоскости основания $(ABCD)$. Обе эти прямые также лежат во вспомогательной плоскости $(SF_1K_1)$, а значит, они пересекаются (или параллельны). Найдем точку их пересечения: $P = FK \cap F_1K_1$.
   5. Построенная точка P принадлежит прямой $FK$, следовательно, она лежит в секущей плоскости $(\alpha)$. Также точка P принадлежит прямой $F_1K_1$, следовательно, она лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Таким образом, P — это вторая искомая точка следа.
   6. Проводим прямую через точки P и M. Прямая $l = PM$ и является следом секущей плоскости $(\alpha)$ на плоскости основания $(ABCD)$.
2. Построение многоугольника сечения.

   Вершины искомого многоугольника сечения являются точками пересечения секущей плоскости $(\alpha)$ с ребрами пирамиды. Мы найдем их, последовательно строя линии пересечения плоскости $(\alpha)$ с каждой гранью пирамиды.

   1. Сначала найдем точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими стороны основания пирамиды. Обозначим эти точки: $T_1 = l \cap AB$, $T_2 = l \cap BC$, $T_3 = l \cap CD$, $T_4 = l \cap DA$. Эти точки являются точками схода для линий сечения на боковых гранях.
   2. Грань ASB: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(ASB)$ определяется двумя точками: точкой F (которая дана по условию) и точкой $T_1$ (т.к. $T_1 \in l \subset (\alpha)$ и $T_1 \in AB \subset (ASB)$). Проводим прямую $FT_1$.
   3. Находим точки пересечения прямой $FT_1$ с боковыми ребрами $SA$ и $SB$. Пусть это будут точки $V_1 = FT_1 \cap SA$ и $V_2 = FT_1 \cap SB$. Отрезок $V_1V_2$ — это сторона сечения, лежащая на грани ASB.
   4. Грань SBC: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(SBC)$ проходит через уже найденную точку $V_2$ и точку схода $T_2 = l \cap BC$. Проводим прямую $V_2T_2$.
   5. Находим точку пересечения прямой $V_2T_2$ с ребром $SC$. Пусть это точка $V_3 = V_2T_2 \cap SC$. Отрезок $V_2V_3$ — это сторона сечения на грани SBC.
   6. Грань CSD: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(CSD)$ должна проходить через точки $V_3$, K и $T_3$. То, что все три точки лежат на одной прямой, служит проверкой правильности построений. Проводим прямую $V_3K$ (или $KT_3$).
   7. Находим точку пересечения этой прямой с ребром $SD$: $V_4 = V_3K \cap SD$. Отрезок $V_3V_4$ — сторона сечения на грани CSD.
   8. Грань SDA: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(SDA)$ проходит через точки $V_4$ и $V_1$. Прямая $V_1V_4$ также должна проходить через точку схода $T_4 = l \cap DA$, что является еще одной проверкой построений. Отрезок $V_1V_4$ — последняя сторона сечения.
3. Результат.

   Последовательно соединив точки $V_1, V_2, V_3, V_4$, мы получаем искомый многоугольник сечения — в данном случае четырехугольник $V_1V_2V_3V_4$. В зависимости от расположения исходных точек сечение может быть также пяти- или шестиугольником, если оно пересекает и ребра основания.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, построенный в соответствии с описанным выше алгоритмом. Его вершинами являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (в общем случае $V_1, V_2, V_3, V_4$ и, возможно, точки на ребрах основания).