Номер 3.41, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.41. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $SA$ и $SC$ отметили соответственно точки $K$ и $N$ так, что $SK : KA = 1 : 3$, $SN : NC = 1 : 2$. На продолжении ребра $BC$ за точку $C$ отметили точку $M$ так, что $BC = CM$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью $MNK$.

2) В каком отношении, считая от вершины $S$, плоскость $MNK$ делит ребро $SD$?

1) Построение сечения пирамиды плоскостью $MNK$.

Секущая плоскость определяется тремя точками $M$, $N$, $K$. Для построения сечения найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды.

1. Точки $N$ и $M$ лежат в плоскости грани $SBC$ (так как точка $M$ лежит на продолжении ребра $BC$). Проведем прямую $NM$. Она пересечет ребро $SB$ в некоторой точке $P$. Отрезок $NP$ является стороной искомого сечения.
2. Точки $K$ и $N$ лежат в плоскости диагонального сечения $SAC$. Отрезок $KN$ является стороной искомого сечения.
3. Точки $K$ и $P$ лежат в плоскости грани $SAB$. Отрезок $KP$ является стороной искомого сечения.
4. Для нахождения оставшихся сторон сечения построим след секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$. Для этого найдем точку пересечения прямой $KN$, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания. Прямая $KN$ лежит в плоскости $SAC$, поэтому она пересечет прямую $AC$, лежащую в той же плоскости. Обозначим точку их пересечения $O' = KN \cap AC$. Так как $O'$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит плоскости основания.
5. Точка $M$ также лежит в плоскости основания. Следовательно, прямая $MO'$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.
6. Продлим сторону основания $CD$ до пересечения со следом $MO'$. Обозначим точку их пересечения $R = MO' \cap CD$.
7. Точка $R$ лежит на прямой $CD$, значит, она принадлежит плоскости грани $SCD$. Точка $N$ также лежит в этой плоскости. Проведем прямую $NR$. Она пересечет ребро $SD$ в некоторой точке $L$. Отрезок $NL$ является стороной искомого сечения.
8. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости грани $SAD$. Соединив их, получим последнюю сторону сечения — отрезок $KL$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $KPNL$.

Ответ: Сечением является четырехугольник $KPNL$, где $P$ — точка пересечения прямой $MN$ с ребром $SB$, а $L$ — точка пересечения прямой $NR$ с ребром $SD$ ($R$ — точка пересечения следа $MO'$ с прямой $CD$, $O'$ — точка пересечения прямых $KN$ и $AC$).

2) В каком отношении, считая от вершины $S$, плоскость $MNK$ делит ребро $SD$?

Нам необходимо найти отношение $SL : LD$. Точка $L$ является точкой пересечения прямой $NR$ с ребром $SD$. Рассмотрим треугольник $SCD$ и секущую $NRL$. По теореме Менелая:

$$ \frac{SL}{LD} \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{CN}{NS} = 1 $$

Найдем входящие в это равенство отношения из условий задачи.

Из условия $SN : NC = 1 : 2$ следует, что $\frac{CN}{NS} = \frac{2}{1} = 2$.

Теперь необходимо найти отношение $\frac{DR}{RC}$. Для этого рассмотрим плоскость основания $ABCD$. Точки $M, O', R$ лежат на одной прямой. Найдем сначала положение точки $O'$ на прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$ и секущую $KNO'$. По теореме Менелая:

$$ \frac{SK}{KA} \cdot \frac{AO'}{O'C} \cdot \frac{CN}{NS} = 1 $$

Из условия $SK : KA = 1 : 3$, имеем $\frac{SK}{KA} = \frac{1}{3}$. Подставим известные значения:

$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{AO'}{O'C} \cdot 2 = 1 \implies \frac{AO'}{O'C} = \frac{3}{2} $$

Теперь найдем отношение $\frac{DR}{RC}$. В плоскости основания $ABCD$ проведем прямую $AD$, параллельную $BC$. Прямая $MO'$ пересекает $AD$ в некоторой точке $T$. Рассмотрим подобные треугольники $\triangle TO'A$ и $\triangle MO'C$. Они подобны по двум углам ($\angle AO'T = \angle CO'M$ как вертикальные, $\angle TAO' = \angle MCO'$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BM$ и секущей $AC$).

Из подобия следует отношение сторон:

$$ \frac{AT}{CM} = \frac{AO'}{CO'} = \frac{3}{2} $$

По условию $BC=CM$, а так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD=BC$. Следовательно, $AD=CM$.

$$ \frac{AT}{AD} = \frac{3}{2} $$

Точка $D$ лежит между точками $A$ и $T$. Тогда $TD = AT - AD = \frac{3}{2}AD - AD = \frac{1}{2}AD$.

Отсюда находим отношение $\frac{AT}{TD} = \frac{\frac{3}{2}AD}{\frac{1}{2}AD} = 3$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $TRO'$. По теореме Менелая:

$$ \frac{AT}{TD} \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{CO'}{O'A} = 1 $$

Подставим известные отношения $\frac{AT}{TD}=3$ и $\frac{CO'}{O'A} = \frac{2}{3}$:

$$ 3 \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{2}{3} = 1 \implies 2 \cdot \frac{DR}{RC} = 1 \implies \frac{DR}{RC} = \frac{1}{2} $$

Наконец, вернемся к исходному выражению из теоремы Менелая для треугольника $SCD$:

$$ \frac{SL}{LD} \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{CN}{NS} = 1 $$

Подставляем найденные значения $\frac{DR}{RC}=\frac{1}{2}$ и $\frac{CN}{NS}=2$:

$$ \frac{SL}{LD} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \implies \frac{SL}{LD} = 1 $$

Следовательно, отношение $SL : LD = 1 : 1$.

Ответ: $1 : 1$.