Номер 3.34, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.34. На рёбрах $BC$, $CA$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили точки $M$, $N$ и $P$ соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей $BPN$, $AMP$ и $MND$.

Для построения точки пересечения трех плоскостей $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$ необходимо найти точку, которая принадлежит всем трем плоскостям одновременно. Алгоритм построения основан на нахождении линий пересечения пар плоскостей и последующем нахождении точки пересечения этих линий.

1. Нахождение линии пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(BPN)$
Обозначим плоскости $\alpha = (AMP)$ и $\beta = (BPN)$. Их линия пересечения — прямая $l_1 = \alpha \cap \beta$. По определению, точка $P$ принадлежит обеим плоскостям, следовательно, $P \in l_1$. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AM$ и $BN$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $(ABC)$. Найдем их точку пересечения, которую обозначим $Q$: $Q = AM \cap BN$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $AM$, то она принадлежит плоскости $(AMP)$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $BN$, то она принадлежит плоскости $(BPN)$. Следовательно, точка $Q$ также принадлежит линии пересечения $l_1$. Таким образом, прямая $PQ$ является линией пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(BPN)$.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(MND)$
Обозначим плоскость $\gamma = (MND)$. Найдем линию пересечения плоскостей $\alpha = (AMP)$ и $\gamma = (MND)$, то есть прямую $l_2 = \alpha \cap \gamma$. По определению, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям, следовательно, $M \in l_2$. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AP$ и $DN$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $(ACD)$. Найдем их точку пересечения, которую обозначим $R$: $R = AP \cap DN$. Поскольку точка $R$ лежит на прямой $AP$, то она принадлежит плоскости $(AMP)$. Поскольку точка $R$ лежит на прямой $DN$, то она принадлежит плоскости $(MND)$. Следовательно, точка $R$ также принадлежит линии пересечения $l_2$. Таким образом, прямая $MR$ является линией пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(MND)$.

3. Построение искомой точки
Искомая точка $K$ является точкой пересечения трех заданных плоскостей: $K = (BPN) \cap (AMP) \cap (MND)$. Эта точка должна лежать на всех линиях попарного пересечения плоскостей. В частности, точка $K$ должна одновременно принадлежать найденным прямым $PQ$ и $MR$. Прямые $PQ$ и $MR$ обе лежат в плоскости $(AMP)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке (в общем случае). Эта точка пересечения и является искомой точкой $K$. $K = PQ \cap MR$. Проверим, что точка $K$ принадлежит всем трем плоскостям:

• $K \in PQ \implies K \in (AMP)$ и $K \in (BPN)$.
• $K \in MR \implies K \in (AMP)$ и $K \in (MND)$.

Следовательно, точка $K$ принадлежит всем трем плоскостям: $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$.

Ответ:
Построение искомой точки $K$ пересечения плоскостей $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$ выполняется в следующей последовательности:
1. В плоскости грани $(ABC)$ строим точку $Q$, являющуюся пересечением прямых $AM$ и $BN$: $Q = AM \cap BN$.
2. В плоскости грани $(ACD)$ строим точку $R$, являющуюся пересечением прямых $AP$ и $DN$: $R = AP \cap DN$.
3. Строим прямые $PQ$ и $MR$. Обе эти прямые лежат в плоскости $(AMP)$.
4. Находим точку пересечения прямых $PQ$ и $MR$. Эта точка $K = PQ \cap MR$ является искомой.