Номер 3.32, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.32. Точка $K$ принадлежит ребру $AC$ тетраэдра $DABC$, точка $E$ — грани $ADB$, точка $F$ — грани $BDC$ (рис. 3.52). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $EFK$.

Рис. 3.52

Для построения сечения тетраэдра плоскостью $EFK$ необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра. Эти точки будут вершинами искомого многоугольника сечения. Построение будем выполнять в несколько этапов, используя метод следов.

След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с одной из граней тетраэдра (в данном случае, с плоскостью основания $ABC$). Для построения прямой нужны две точки.

1.1. Одна точка пересечения плоскости $(EFK)$ и плоскости $(ABC)$ уже известна — это точка $K$, так как по условию $K$ лежит на ребре $AC$, которое принадлежит плоскости $(ABC)$.

1.2. Найдем вторую точку, а именно точку пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(ABC)$. Для этого используем вспомогательную плоскость. В плоскости грани $ADB$ проведем прямую через точки $D$ и $E$. Прямая $DE$ пересечет ребро $AB$ (или его продолжение). Обозначим точку пересечения $M$: $M = DE \cap AB$.

1.3. Аналогично, в плоскости грани $BDC$ проведем прямую через точки $D$ и $F$. Прямая $DF$ пересечет ребро $BC$ (или его продолжение). Обозначим точку пересечения $N$: $N = DF \cap BC$.

1.4. Прямые $EF$ и $MN$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(DMN)$. Найдем их точку пересечения $P$, продолжив отрезки $EF$ и $MN$ до их пересечения: $P = EF \cap MN$.

1.5. Точка $P$ принадлежит прямой $EF$, а значит, лежит в секущей плоскости $(EFK)$. Точка $P$ также принадлежит прямой $MN$, которая лежит в плоскости основания $(ABC)$, а значит, $P$ лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, $P$ — это вторая точка, принадлежащая как секущей плоскости, так и плоскости основания.

1.6. Прямая $PK$ является линией пересечения секущей плоскости $(EFK)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эта прямая — след секущей плоскости на плоскости $(ABC)$.

Теперь, имея след, мы можем последовательно найти вершины сечения на ребрах тетраэдра и соединить их.

2.1. В плоскости основания $(ABC)$ след $PK$ пересекает ребро $AB$ в некоторой точке. Обозначим ее $Q$. Точки $K$ (на ребре $AC$) и $Q$ (на ребре $AB$) — две вершины нашего сечения. Отрезок $KQ$ — сторона сечения, лежащая в грани $ABC$.

2.2. Перейдем к грани $ADB$. В этой грани лежат точка $E$ (по условию) и построенная нами вершина $Q$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости. Проводим через них прямую $QE$. Эта прямая является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ADB$. Прямая $QE$ пересекает ребро $BD$ в некоторой точке $T$. Точка $T$ — третья вершина сечения. Отрезок $QT$ — сторона сечения, лежащая в грани $ADB$.

2.3. Теперь рассмотрим грань $BDC$. В ней лежит точка $F$ (по условию) и построенная нами вершина $T$. Обе точки лежат в секущей плоскости. Проводим через них прямую $TF$, которая является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BDC$. Эта прямая пересекает ребро $DC$ в некоторой точке $U$. Точка $U$ — четвертая вершина сечения. Отрезок $TU$ — сторона сечения, лежащая в грани $BDC$.

2.4. Осталось рассмотреть грань $ADC$. На ее ребрах лежат построенная нами вершина $U$ (на ребре $DC$) и данная в условии вершина $K$ (на ребре $AC$). Обе точки принадлежат секущей плоскости, поэтому отрезок $UK$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $ADC$. Этот отрезок является последней стороной сечения и замыкает многоугольник.

В результате построений мы получили четыре вершины на ребрах тетраэдра: $K$ на $AC$, $Q$ на $AB$, $T$ на $BD$ и $U$ на $DC$. Соединив последовательно эти точки, получаем искомое сечение — четырехугольник $KQTU$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $KQTU$, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра и строятся в соответствии с описанным алгоритмом.