Номер 3.38, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.38. Точки $F$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ASB$, $ASD$ и $DSC$ пирамиды $SABCD$ (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью $FMK$.

Рис. 3.55

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три точки F, M и K, лежащие на различных боковых гранях, наиболее универсальным является метод следов. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След – это прямая пересечения секущей плоскости (FMK) с плоскостью основания пирамиды (ABCD). Чтобы построить эту прямую, необходимо найти две ее точки.

• Нахождение первой точки следа ($P_1$).
  1. Рассмотрим точки F и M, лежащие на смежных гранях (SAB) и (SAD). Эти грани пересекаются по ребру SA.
  2. Во вспомогательной плоскости (SAB) проведем прямую через вершину S и точку F. Найдем ее точку пересечения с прямой AB, лежащей в основании: $F_1 = SF \cap AB$.
  3. Аналогично в плоскости (SAD) проведем прямую SM и найдем ее точку пересечения с прямой AD: $M_1 = SM \cap AD$.
  4. Прямые FM и $F_1M_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости (SFM). Найдем точку их пересечения: $P_1 = FM \cap F_1M_1$.
  5. Точка $P_1$ принадлежит прямой FM, а значит, и секущей плоскости (FMK). Точка $P_1$ также принадлежит прямой $F_1M_1$, а значит, и плоскости основания (ABCD). Таким образом, $P_1$ — первая точка искомого следа.
• Нахождение второй точки следа ($P_2$).
  1. Рассмотрим точки M и K, лежащие на смежных гранях (SAD) и (SDC). Эти грани пересекаются по ребру SD.
  2. Точка $M_1 = SM \cap AD$ уже построена.
  3. В плоскости (SDC) проведем прямую SK и найдем ее точку пересечения с прямой DC: $K_1 = SK \cap DC$.
  4. Прямые MK и $M_1K_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости (SMK). Найдем точку их пересечения: $P_2 = MK \cap M_1K_1$.
  5. Точка $P_2$ является второй точкой следа, так как она одновременно принадлежит секущей плоскости (FMK) и плоскости основания (ABCD).
• Проведение следа. Прямая $p$, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является следом секущей плоскости (FMK) на плоскости основания.

2. Построение сторон многоугольника сечения

Вершины сечения — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды. Их находят с помощью следа $p$.

• Найдем точки пересечения следа $p$ с прямыми, на которых лежат стороны основания: $L_{AB} = p \cap AB$, $L_{AD} = p \cap AD$, $L_{DC} = p \cap DC$ и т.д.
• Пересечение с гранью (SAD). Точка M (по условию) и точка $L_{AD}$ (на следе) лежат и в секущей плоскости, и в плоскости грани (SAD). Прямая $ML_{AD}$ является линией пересечения этих плоскостей. Эта прямая пересекает боковые ребра SA и SD в точках $Q_A$ и $Q_D$. Отрезок $Q_AQ_D$ — сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SAB). Точка F и точка $L_{AB}$ определяют линию пересечения секущей плоскости с гранью (SAB). Прямая $FL_{AB}$ пересекает ребро SB в точке $Q_B$ и должна пройти через уже найденную точку $Q_A$ на ребре SA. Отрезок $Q_AQ_B$ — вторая сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SDC). Точка K и точка $L_{DC}$ определяют линию пересечения с гранью (SDC). Прямая $KL_{DC}$ пересекает ребро SC в точке $Q_C$ и должна пройти через уже найденную точку $Q_D$. Отрезок $Q_DQ_C$ — третья сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SBC). Две вершины сечения, $Q_B$ на ребре SB и $Q_C$ на ребре SC, уже найдены. Так как они обе лежат в грани (SBC), отрезок $Q_BQ_C$ является четвертой стороной сечения.

3. Искомое сечение

Соединив последовательно точки $Q_A, Q_B, Q_C, Q_D$ на ребрах пирамиды, получим многоугольник $Q_AQ_BQ_CQ_D$, который является искомым сечением пирамиды плоскостью (FMK).

Ответ: Построение сечения производится методом следов. Сначала находится след секущей плоскости на плоскости основания путем нахождения двух точек ($P_1$ и $P_2$) пересечения прямых (таких как FM и MK) с их проекциями на плоскость основания из вершины S. Затем с помощью этого следа последовательно строятся линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды, которые в пересечении с ребрами пирамиды дают вершины искомого многоугольника сечения.