Номер 3.40, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.40. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $SB$, $SC$ и $SD$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $K$ так, что $SM : MB = 3 : 2$, $SN : NC = 1 : 2$ и $SK : KD = 1 : 3$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью $MNK$.

2) В каком отношении, считая от вершины $S$, плоскость $MNK$ делит ребро $SA$?

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью MNK.

Построение сечения основано на методе следов. След плоскости сечения — это линия ее пересечения с плоскостью основания пирамиды.

1. Точки $M$ и $N$ лежат в одной плоскости грани $SBC$. Проведем прямую $MN$ и продлим ее до пересечения с прямой $BC$, лежащей в той же плоскости. Точку их пересечения обозначим $P$. Точка $P$ принадлежит как секущей плоскости $MNK$ (так как лежит на прямой $MN$), так и плоскости основания $ABCD$ (так как лежит на прямой $BC$).
2. Аналогично, точки $N$ и $K$ лежат в плоскости грани $SCD$. Проведем прямую $NK$ и продлим ее до пересечения с прямой $CD$. Точку их пересечения обозначим $Q$. Точка $Q$ также принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.
3. Прямая $PQ$ является следом секущей плоскости $MNK$ на плоскости основания $ABCD$, так как обе точки $P$ и $Q$ принадлежат этим двум плоскостям.
4. Для нахождения точки пересечения секущей плоскости с ребром $SA$, найдем линию пересечения плоскости $MNK$ с гранью $SAB$. Для этого продлим ребро основания $AB$ до пересечения со следом $PQ$. Обозначим эту точку $E$. Точка $E$ принадлежит плоскости $MNK$ и плоскости грани $SAB$.
5. Точки $E$ и $M$ лежат как в секущей плоскости, так и в плоскости грани $SAB$. Следовательно, прямая $EM$ является линией пересечения этих плоскостей. Эта прямая пересекает ребро $SA$ в некоторой точке, которую мы обозначим $L$.
6. Соединяя последовательно точки $L, M, N, K$, лежащие на ребрах пирамиды, получаем искомое сечение — четырехугольник $LMNK$.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $LMNK$, вершины которого лежат на ребрах $SA, SB, SC, SD$ соответственно и строятся по вышеописанному алгоритму.

2) В каком отношении, считая от вершины S, плоскость MNK делит ребро SA?

Для нахождения искомого отношения воспользуемся векторным методом. Примем вершину $S$ за начало координат. Введем базисные векторы: $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$ и $\vec{SD} = \vec{d}$.

Так как основание $ABCD$ является параллелограммом, то выполняется векторное равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$, что в наших обозначениях дает $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$, откуда следует важное соотношение: $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Исходя из данных в условии задачи, выразим векторы положения точек $M, N, K$:

• $SM : MB = 3 : 2 \implies \vec{SM} = \frac{3}{3+2}\vec{SB} = \frac{3}{5}\vec{b}$.
• $SN : NC = 1 : 2 \implies \vec{SN} = \frac{1}{1+2}\vec{SC} = \frac{1}{3}\vec{c}$.
• $SK : KD = 1 : 3 \implies \vec{SK} = \frac{1}{1+3}\vec{SD} = \frac{1}{4}\vec{d}$.

Искомая точка $L$ лежит на ребре $SA$, значит ее вектор положения можно записать как $\vec{SL} = \lambda \vec{SA} = \lambda \vec{a}$ для некоторого числа $\lambda \in (0, 1)$. Наша задача — найти это число.

Точки $L, M, N, K$ лежат в одной плоскости (в секущей плоскости). Условием компланарности четырех точек является возможность выразить вектор из начала координат до одной из точек через векторы до трех других с суммой коэффициентов, равной 1. Запишем это условие для точки $L$:

$\vec{SL} = x\vec{SM} + y\vec{SN} + z\vec{SK}$, где $x+y+z=1$.

Подставим в это уравнение векторные выражения:

$\lambda\vec{a} = x\left(\frac{3}{5}\vec{b}\right) + y\left(\frac{1}{3}\vec{c}\right) + z\left(\frac{1}{4}\vec{d}\right)$

Теперь заменим вектор $\vec{d}$ на его выражение через $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$\lambda\vec{a} = \frac{3x}{5}\vec{b} + \frac{y}{3}\vec{c} + \frac{z}{4}(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

Сгруппируем слагаемые при базисных векторах:

$\lambda\vec{a} + 0\vec{b} + 0\vec{c} = \frac{z}{4}\vec{a} + \left(\frac{3x}{5} - \frac{z}{4}\right)\vec{b} + \left(\frac{y}{3} + \frac{z}{4}\right)\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны (так как $SABCD$ — пирамида), мы можем приравнять коэффициенты при этих векторах в левой и правой частях равенства:

$\lambda = \frac{z}{4}$
$0 = \frac{3x}{5} - \frac{z}{4}$
$0 = \frac{y}{3} + \frac{z}{4}$

Вместе с условием $x+y+z=1$ мы имеем систему из четырех уравнений. Выразим $x$ и $y$ через $z$ из второго и третьего уравнений:

$\frac{3x}{5} = \frac{z}{4} \implies x = \frac{5z}{12}$

$\frac{y}{3} = -\frac{z}{4} \implies y = -\frac{3z}{4}$

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в уравнение $x+y+z=1$:

$\frac{5z}{12} - \frac{3z}{4} + z = 1$

Приведем к общему знаменателю 12:

$\frac{5z - 9z + 12z}{12} = 1$

$8z = 12 \implies z = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем искомое значение $\lambda$:

$\lambda = \frac{z}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$

Таким образом, $\vec{SL} = \frac{3}{8}\vec{SA}$. Это означает, что точка $L$ делит ребро $SA$ в отношении $SL : LA = 3 : (8-3) = 3:5$.

Ответ: $3:5$.