Номер 3.39, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.39. Может ли рисунок 3.56 служить изображением некоторого многогранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

Рис. 3.56

Для того чтобы данный рисунок мог служить изображением (например, параллельной проекцией) некоторого многогранника, необходимо, чтобы он соответствовал основным свойствам многогранников. Многогранник — это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольниками, которые называются гранями. Поверхность многогранника не должна сама себя пересекать.

Предположим, что рисунок 3.56 является изображением многогранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$. У этого предполагаемого многогранника есть два основания — $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а также четыре боковые грани: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$.

Рассмотрим две противоположные боковые грани: грань $DAA_1D_1$ и грань $BCC_1B_1$. В любом (в том числе невыпуклом) многограннике его грани не могут пересекаться, кроме как по общим ребрам или вершинам. Данные две грани не имеют общих ребер или вершин, следовательно, в трехмерном пространстве они должны быть полностью отделены друг от друга.

Теперь проанализируем их проекции на рисунке. Проведем в этих гранях диагонали — отрезок $A_1D$ в грани $DAA_1D_1$ и отрезок $BC_1$ в грани $BCC_1B_1$. На рисунке 3.56 видно, что проекции этих двух отрезков пересекаются. Точка их пересечения находится внутри проекции многогранника.

Это означает, что в трехмерном пространстве существует прямая (линия взгляда), параллельная направлению проектирования, которая пересекает и отрезок $A_1D$, и отрезок $BC_1$. Один из этих отрезков находится "перед" другим. Однако точка пересечения их проекций лежит внутри контура, образованного проекцией грани $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что обе точки на отрезках $A_1D$ и $BC_1$, которые проецируются в одну и ту же точку на рисунке, должны находиться внутри объема, ограниченного поверхностью многогранника.

Но отрезки $A_1D$ и $BC_1$ сами являются частью поверхности (граней) этого многогранника. Таким образом, мы приходим к противоречию: точки, принадлежащие поверхности многогранника, одновременно должны находиться внутри него. Это невозможно. Поверхность многогранника должна разделять пространство на внутреннюю и внешнюю части, а не проходить сама через себя.

Следовательно, данный рисунок не может служить изображением какого-либо многогранника.

Ответ: Нет, данный рисунок не может служить изображением многогранника, так как он изображает самопересекающуюся поверхность. Например, проекции диагоналей противоположных боковых граней ($A_1D$ и $BC_1$) пересекаются, что геометрически невозможно для поверхности многогранника.