Номер 3.33, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.33. На рёбрах $BC$, $CA$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили точки $M$, $N$ и $P$ соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей $ABP$, $ADM$ и $BDN$.

Рис. 3.53

Обозначим искомую точку пересечения плоскостей $(ABP)$, $(ADM)$ и $(BDN)$ через $K$. Точка $K$ должна одновременно принадлежать всем трем плоскостям. Для ее нахождения воспользуемся методом нахождения линий пересечения плоскостей попарно.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ADM)$ и $(BDN)$.
Обе плоскости содержат общую точку $D$. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые $AM$ и $BN$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $(ADM)$, а прямая $BN$ — в плоскости $(BDN)$. Обе эти прямые ($AM$ и $BN$) лежат в плоскости основания тетраэдра $(ABC)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке $E$. Итак, $E = AM \cap BN$.
Поскольку точка $E$ принадлежит прямой $AM$, она также принадлежит плоскости $(ADM)$.
Поскольку точка $E$ принадлежит прямой $BN$, она также принадлежит плоскости $(BDN)$.
Следовательно, точки $D$ и $E$ являются общими для плоскостей $(ADM)$ и $(BDN)$, а значит, прямая $DE$ является линией их пересечения.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABP)$ и $(ADM)$.
Обе плоскости содержат общую точку $A$. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые $BP$ и $DM$. Прямая $BP$ лежит в плоскости $(ABP)$, а прямая $DM$ — в плоскости $(ADM)$. Обе эти прямые ($BP$ и $DM$) лежат в плоскости грани $(DBC)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке $F$. Итак, $F = BP \cap DM$.
Поскольку точка $F$ принадлежит прямой $BP$, она также принадлежит плоскости $(ABP)$.
Поскольку точка $F$ принадлежит прямой $DM$, она также принадлежит плоскости $(ADM)$.
Следовательно, точки $A$ и $F$ являются общими для плоскостей $(ABP)$ и $(ADM)$, а значит, прямая $AF$ является линией их пересечения.

3. Построение искомой точки $K$.
Искомая точка $K$ является точкой пересечения трех плоскостей, поэтому она должна лежать на обеих найденных линиях пересечения, то есть $K$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AF$.
Докажем, что эти прямые пересекаются. Для этого покажем, что они лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость $(ADM)$. Точки $A$, $D$ и $M$ по определению лежат в этой плоскости. Точка $E$ лежит на прямой $AM$, следовательно, $E \in (ADM)$. Точка $F$ лежит на прямой $DM$, следовательно, $F \in (ADM)$.
Таким образом, все четыре точки $A$, $D$, $E$, $F$ лежат в одной плоскости $(ADM)$. Это означает, что прямые $DE$ и $AF$ лежат в этой плоскости и, следовательно, пересекаются в некоторой точке $K$ (при условии, что они не параллельны).

Таким образом, алгоритм построения следующий:
1. В плоскости $(ABC)$ строим прямые $AM$ и $BN$. Находим их точку пересечения $E$.
2. В плоскости $(DBC)$ строим прямые $BP$ и $DM$. Находим их точку пересечения $F$.
3. Строим прямую $DE$.
4. Строим прямую $AF$.
5. Находим точку пересечения прямых $DE$ и $AF$. Эта точка $K$ и является искомой точкой пересечения плоскостей $(ABP)$, $(ADM)$ и $(BDN)$.

Ответ: Искомая точка $K$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AF$, где $E$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BN$, а $F$ — точка пересечения прямых $BP$ и $DM$.