Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.31. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.51). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на грани $AMB$ — точку $F$, на грани $CMD$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.51

Для построения сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $EFK$ используется метод следов, который заключается в нахождении линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания и последующем построении точек пересечения с ребрами пирамиды. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След – это прямая, по которой секущая плоскость $(EFK)$ пересекается с плоскостью основания $(ABCD)$. Точка $E$ принадлежит ребру $AD$, которое лежит в плоскости основания, следовательно, точка $E$ уже принадлежит следу. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.

1. В плоскости грани $AMB$ проведем прямую через вершину $M$ и точку $F$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $F'$. Таким образом, $F' = MF \cap AB$.
2. Аналогично, в плоскости грани $CMD$ проведем прямую через вершину $M$ и точку $K$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $K'$. Таким образом, $K' = MK \cap CD$.
3. Прямые $FK$ и $F'K'$ лежат в одной плоскости $(MFK)$. Найдем точку их пересечения: $P = FK \cap F'K'$.
4. По построению, точка $P$ принадлежит прямой $FK$ (и, следовательно, секущей плоскости $(EFK)$) и прямой $F'K'$ (и, следовательно, плоскости основания $(ABCD)$).
5. Таким образом, прямая, проходящая через точки $E$ и $P$, является искомым следом секущей плоскости $(EFK)$ на плоскости основания $(ABCD)$.

2. Нахождение вершин многоугольника сечения

Вершины сечения — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды. Для их нахождения используются построенный след $EP$ и данные точки $F$ и $K$.

1. Найдем линию пересечения плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(CMD)$. Продлим след $EP$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $X$ ($X = EP \cap CD$). Точки $X$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям, поэтому прямая $XK$ является линией их пересечения. Прямая $XK$ пересекает ребра $MD$ и $MC$ в искомых вершинах сечения $Q$ и $R$ соответственно.
2. Аналогично найдем линию пересечения плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(AMB)$. Продлим след $EP$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $Y$ ($Y = EP \cap AB$). Точки $Y$ и $F$ принадлежат обеим плоскостям, поэтому прямая $YF$ является линией их пересечения. Прямая $YF$ пересекает ребра $MA$ и $MB$ в искомых вершинах сечения $S$ и $T$ соответственно.
3. Таким образом, мы получили пять вершин искомого сечения: точка $E$ на ребре $AD$, точка $Q$ на ребре $MD$, точка $R$ на ребре $MC$, точка $T$ на ребре $MB$ и точка $S$ на ребре $MA$.

3. Построение искомого сечения

Последовательно соединяем полученные вершины, лежащие в одной грани пирамиды, отрезками:

• В грани $AMB$ соединяем точки $S$ и $T$ (отрезок $ST$).
• В грани $MBC$ соединяем точки $T$ и $R$ (отрезок $TR$).
• В грани $CMD$ соединяем точки $R$ и $Q$ (отрезок $RQ$).
• В грани $AMD$ соединяем точки $Q$ и $E$ (отрезок $QE$).
• В той же грани $AMD$ соединяем точки $E$ и $S$ (отрезок $ES$).

В результате получаем пятиугольник $STRQE$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $STRQE$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом.

3.32. Точка $K$ принадлежит ребру $AC$ тетраэдра $DABC$, точка $E$ — грани $ADB$, точка $F$ — грани $BDC$ (рис. 3.52). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $EFK$.

Рис. 3.52

Для построения сечения тетраэдра плоскостью $EFK$ необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра. Эти точки будут вершинами искомого многоугольника сечения. Построение будем выполнять в несколько этапов, используя метод следов.

След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с одной из граней тетраэдра (в данном случае, с плоскостью основания $ABC$). Для построения прямой нужны две точки.

1.1. Одна точка пересечения плоскости $(EFK)$ и плоскости $(ABC)$ уже известна — это точка $K$, так как по условию $K$ лежит на ребре $AC$, которое принадлежит плоскости $(ABC)$.

1.2. Найдем вторую точку, а именно точку пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(ABC)$. Для этого используем вспомогательную плоскость. В плоскости грани $ADB$ проведем прямую через точки $D$ и $E$. Прямая $DE$ пересечет ребро $AB$ (или его продолжение). Обозначим точку пересечения $M$: $M = DE \cap AB$.

1.3. Аналогично, в плоскости грани $BDC$ проведем прямую через точки $D$ и $F$. Прямая $DF$ пересечет ребро $BC$ (или его продолжение). Обозначим точку пересечения $N$: $N = DF \cap BC$.

1.4. Прямые $EF$ и $MN$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(DMN)$. Найдем их точку пересечения $P$, продолжив отрезки $EF$ и $MN$ до их пересечения: $P = EF \cap MN$.

1.5. Точка $P$ принадлежит прямой $EF$, а значит, лежит в секущей плоскости $(EFK)$. Точка $P$ также принадлежит прямой $MN$, которая лежит в плоскости основания $(ABC)$, а значит, $P$ лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, $P$ — это вторая точка, принадлежащая как секущей плоскости, так и плоскости основания.

1.6. Прямая $PK$ является линией пересечения секущей плоскости $(EFK)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эта прямая — след секущей плоскости на плоскости $(ABC)$.

Теперь, имея след, мы можем последовательно найти вершины сечения на ребрах тетраэдра и соединить их.

2.1. В плоскости основания $(ABC)$ след $PK$ пересекает ребро $AB$ в некоторой точке. Обозначим ее $Q$. Точки $K$ (на ребре $AC$) и $Q$ (на ребре $AB$) — две вершины нашего сечения. Отрезок $KQ$ — сторона сечения, лежащая в грани $ABC$.

2.2. Перейдем к грани $ADB$. В этой грани лежат точка $E$ (по условию) и построенная нами вершина $Q$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости. Проводим через них прямую $QE$. Эта прямая является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ADB$. Прямая $QE$ пересекает ребро $BD$ в некоторой точке $T$. Точка $T$ — третья вершина сечения. Отрезок $QT$ — сторона сечения, лежащая в грани $ADB$.

2.3. Теперь рассмотрим грань $BDC$. В ней лежит точка $F$ (по условию) и построенная нами вершина $T$. Обе точки лежат в секущей плоскости. Проводим через них прямую $TF$, которая является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BDC$. Эта прямая пересекает ребро $DC$ в некоторой точке $U$. Точка $U$ — четвертая вершина сечения. Отрезок $TU$ — сторона сечения, лежащая в грани $BDC$.

2.4. Осталось рассмотреть грань $ADC$. На ее ребрах лежат построенная нами вершина $U$ (на ребре $DC$) и данная в условии вершина $K$ (на ребре $AC$). Обе точки принадлежат секущей плоскости, поэтому отрезок $UK$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $ADC$. Этот отрезок является последней стороной сечения и замыкает многоугольник.

В результате построений мы получили четыре вершины на ребрах тетраэдра: $K$ на $AC$, $Q$ на $AB$, $T$ на $BD$ и $U$ на $DC$. Соединив последовательно эти точки, получаем искомое сечение — четырехугольник $KQTU$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $KQTU$, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра и строятся в соответствии с описанным алгоритмом.

3.33. На рёбрах $BC$, $CA$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили точки $M$, $N$ и $P$ соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей $ABP$, $ADM$ и $BDN$.

Рис. 3.53

Обозначим искомую точку пересечения плоскостей $(ABP)$, $(ADM)$ и $(BDN)$ через $K$. Точка $K$ должна одновременно принадлежать всем трем плоскостям. Для ее нахождения воспользуемся методом нахождения линий пересечения плоскостей попарно.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ADM)$ и $(BDN)$.
Обе плоскости содержат общую точку $D$. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые $AM$ и $BN$. Прямая $AM$ лежит в плоскости $(ADM)$, а прямая $BN$ — в плоскости $(BDN)$. Обе эти прямые ($AM$ и $BN$) лежат в плоскости основания тетраэдра $(ABC)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке $E$. Итак, $E = AM \cap BN$.
Поскольку точка $E$ принадлежит прямой $AM$, она также принадлежит плоскости $(ADM)$.
Поскольку точка $E$ принадлежит прямой $BN$, она также принадлежит плоскости $(BDN)$.
Следовательно, точки $D$ и $E$ являются общими для плоскостей $(ADM)$ и $(BDN)$, а значит, прямая $DE$ является линией их пересечения.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABP)$ и $(ADM)$.
Обе плоскости содержат общую точку $A$. Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые $BP$ и $DM$. Прямая $BP$ лежит в плоскости $(ABP)$, а прямая $DM$ — в плоскости $(ADM)$. Обе эти прямые ($BP$ и $DM$) лежат в плоскости грани $(DBC)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке $F$. Итак, $F = BP \cap DM$.
Поскольку точка $F$ принадлежит прямой $BP$, она также принадлежит плоскости $(ABP)$.
Поскольку точка $F$ принадлежит прямой $DM$, она также принадлежит плоскости $(ADM)$.
Следовательно, точки $A$ и $F$ являются общими для плоскостей $(ABP)$ и $(ADM)$, а значит, прямая $AF$ является линией их пересечения.

3. Построение искомой точки $K$.
Искомая точка $K$ является точкой пересечения трех плоскостей, поэтому она должна лежать на обеих найденных линиях пересечения, то есть $K$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AF$.
Докажем, что эти прямые пересекаются. Для этого покажем, что они лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость $(ADM)$. Точки $A$, $D$ и $M$ по определению лежат в этой плоскости. Точка $E$ лежит на прямой $AM$, следовательно, $E \in (ADM)$. Точка $F$ лежит на прямой $DM$, следовательно, $F \in (ADM)$.
Таким образом, все четыре точки $A$, $D$, $E$, $F$ лежат в одной плоскости $(ADM)$. Это означает, что прямые $DE$ и $AF$ лежат в этой плоскости и, следовательно, пересекаются в некоторой точке $K$ (при условии, что они не параллельны).

Таким образом, алгоритм построения следующий:
1. В плоскости $(ABC)$ строим прямые $AM$ и $BN$. Находим их точку пересечения $E$.
2. В плоскости $(DBC)$ строим прямые $BP$ и $DM$. Находим их точку пересечения $F$.
3. Строим прямую $DE$.
4. Строим прямую $AF$.
5. Находим точку пересечения прямых $DE$ и $AF$. Эта точка $K$ и является искомой точкой пересечения плоскостей $(ABP)$, $(ADM)$ и $(BDN)$.

Ответ: Искомая точка $K$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AF$, где $E$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BN$, а $F$ — точка пересечения прямых $BP$ и $DM$.

3.34. На рёбрах $BC$, $CA$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отметили точки $M$, $N$ и $P$ соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей $BPN$, $AMP$ и $MND$.

Для построения точки пересечения трех плоскостей $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$ необходимо найти точку, которая принадлежит всем трем плоскостям одновременно. Алгоритм построения основан на нахождении линий пересечения пар плоскостей и последующем нахождении точки пересечения этих линий.

1. Нахождение линии пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(BPN)$
Обозначим плоскости $\alpha = (AMP)$ и $\beta = (BPN)$. Их линия пересечения — прямая $l_1 = \alpha \cap \beta$. По определению, точка $P$ принадлежит обеим плоскостям, следовательно, $P \in l_1$. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AM$ и $BN$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $(ABC)$. Найдем их точку пересечения, которую обозначим $Q$: $Q = AM \cap BN$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $AM$, то она принадлежит плоскости $(AMP)$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $BN$, то она принадлежит плоскости $(BPN)$. Следовательно, точка $Q$ также принадлежит линии пересечения $l_1$. Таким образом, прямая $PQ$ является линией пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(BPN)$.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(MND)$
Обозначим плоскость $\gamma = (MND)$. Найдем линию пересечения плоскостей $\alpha = (AMP)$ и $\gamma = (MND)$, то есть прямую $l_2 = \alpha \cap \gamma$. По определению, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям, следовательно, $M \in l_2$. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AP$ и $DN$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $(ACD)$. Найдем их точку пересечения, которую обозначим $R$: $R = AP \cap DN$. Поскольку точка $R$ лежит на прямой $AP$, то она принадлежит плоскости $(AMP)$. Поскольку точка $R$ лежит на прямой $DN$, то она принадлежит плоскости $(MND)$. Следовательно, точка $R$ также принадлежит линии пересечения $l_2$. Таким образом, прямая $MR$ является линией пересечения плоскостей $(AMP)$ и $(MND)$.

3. Построение искомой точки
Искомая точка $K$ является точкой пересечения трех заданных плоскостей: $K = (BPN) \cap (AMP) \cap (MND)$. Эта точка должна лежать на всех линиях попарного пересечения плоскостей. В частности, точка $K$ должна одновременно принадлежать найденным прямым $PQ$ и $MR$. Прямые $PQ$ и $MR$ обе лежат в плоскости $(AMP)$, поэтому они пересекаются в некоторой точке (в общем случае). Эта точка пересечения и является искомой точкой $K$. $K = PQ \cap MR$. Проверим, что точка $K$ принадлежит всем трем плоскостям:

• $K \in PQ \implies K \in (AMP)$ и $K \in (BPN)$.
• $K \in MR \implies K \in (AMP)$ и $K \in (MND)$.

Следовательно, точка $K$ принадлежит всем трем плоскостям: $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$.

Ответ:
Построение искомой точки $K$ пересечения плоскостей $(BPN)$, $(AMP)$ и $(MND)$ выполняется в следующей последовательности:
1. В плоскости грани $(ABC)$ строим точку $Q$, являющуюся пересечением прямых $AM$ и $BN$: $Q = AM \cap BN$.
2. В плоскости грани $(ACD)$ строим точку $R$, являющуюся пересечением прямых $AP$ и $DN$: $R = AP \cap DN$.
3. Строим прямые $PQ$ и $MR$. Обе эти прямые лежат в плоскости $(AMP)$.
4. Находим точку пересечения прямых $PQ$ и $MR$. Эта точка $K = PQ \cap MR$ является искомой.

3.35. Верно ли, что если все грани многогранника — равные квадраты, то этот многогранник — куб?

Нет, это утверждение неверно.

Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример — то есть, показать существование многогранника, все грани которого являются равными квадратами, но который не является кубом.

Рассмотрим такой контрпример. Возьмем два одинаковых куба и соединим их, приложив один к другому по целой грани. В результате получится новый многогранник. Проанализируем его свойства:

• Грани. У каждого исходного куба было по 6 квадратных граней. После соединения два квадрата (по одному от каждого куба) стали внутренними и перестали быть гранями нового тела. Таким образом, поверхность полученного многогранника состоит из $6 + 6 - 2 = 10$ граней. Все эти 10 граней являются равными между собой квадратами.
• Форма. Полученная фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед. Если ребро исходных кубов было равно $a$, то измерения нового тела будут $a \times a \times 2a$. Очевидно, что это не куб, так как у куба все ребра должны быть равной длины.

Таким образом, мы сконструировали многогранник, который удовлетворяет условию (все грани — равные квадраты), но не является кубом. Этот многогранник является невыпуклым, поскольку на общих ребрах соединения внутренние двугранные углы составляют $270^\circ$.

Следует отметить, что если бы в условии было дополнительное ограничение, что многогранник является выпуклым, то утверждение было бы верным. В любой вершине выпуклого многогранника сумма плоских углов сходящихся в ней граней должна быть меньше $360^\circ$. Угол квадрата равен $90^\circ$, поэтому в каждой вершине могут сходиться только три грани ($3 \times 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$). Выпуклый многогранник, у которого все грани — равные квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра, является кубом.

Поскольку в задаче такого уточнения нет, общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, неверно.

3.36. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ADB$, $BDC$ и $CDA$ тетраэдра $DABC$ (рис. 3.54). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.54

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с одной из граней тетраэдра, например, с плоскостью основания $(ABC)$. Затем, используя этот след, мы последовательно найдем линии пересечения секущей плоскости с другими гранями тетраэдра.

Построение можно разбить на следующие этапы:

1. Построение следа секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$

1. Точки $M$, $N$ и $K$ лежат на боковых гранях тетраэдра, имеющих общую вершину $D$. Спроецируем эти точки из центра проекции $D$ на плоскость основания $(ABC)$. Для этого проведем лучи $DM$, $DN$ и $DK$.
   • Луч $DM$ пересекает ребро $AB$ в точке $M_1$. Так как $M \in (ADB)$, то и луч $DM$, и точка $M_1$ лежат в плоскости $(ADB)$, а значит $M_1 \in AB$.
   • Луч $DN$ пересекает ребро $BC$ в точке $N_1$. Так как $N \in (BDC)$, то $N_1 \in BC$.
   • Луч $DK$ пересекает ребро $AC$ в точке $K_1$. Так как $K \in (CDA)$, то $K_1 \in AC$.
2. Теперь найдем две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости $(MNK)$ и плоскости основания $(ABC)$.
   • Рассмотрим прямые $MN$ и $M_1N_1$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(DM_1N_1)$, так как точки $M, N, M_1, N_1$ лежат в этой плоскости. Найдем точку их пересечения: $P_1 = MN \cap M_1N_1$.
     Поскольку точка $P_1$ лежит на прямой $MN$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$.
     Поскольку точка $P_1$ лежит на прямой $M_1N_1$, а прямая $M_1N_1$ лежит в плоскости основания $(ABC)$, то точка $P_1$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
     Следовательно, точка $P_1$ лежит на линии пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$.
   • Аналогично рассмотрим прямые $NK$ и $N_1K_1$. Они лежат в одной плоскости $(DN_1K_1)$. Найдем точку их пересечения: $P_2 = NK \cap N_1K_1$.
     Точка $P_2$ также принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$.
3. Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$. Эта прямая называется следом плоскости $(MNK)$ на плоскости $(ABC)$. Обозначим этот след буквой $l$.

2. Построение сторон сечения на гранях тетраэдра

1. Найдём точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими стороны основания $ABC$.
   • Пусть $T_1 = l \cap BC$.
   • Пусть $T_2 = l \cap AC$.
   • Пусть $T_3 = l \cap AB$.
2. Теперь построим линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями.
   • Грань $BDC$: Точка $N$ (по условию) и точка $T_1$ (так как $T_1 \in BC$) лежат в плоскости грани $(BDC)$. Обе эти точки также лежат в секущей плоскости $(MNK)$. Следовательно, прямая $NT_1$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(BDC)$.
   • Грань $CDA$: Точка $K$ и точка $T_2$ лежат в плоскости грани $(CDA)$ и в секущей плоскости. Следовательно, прямая $KT_2$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(CDA)$.
   • Грань $ADB$: Точка $M$ и точка $T_3$ лежат в плоскости грани $(ADB)$ и в секущей плоскости. Следовательно, прямая $MT_3$ является линией пересечения плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(ADB)$.

3. Определение вершин и построение искомого сечения

1. Вершины многоугольника, являющегося сечением, – это точки пересечения построенных линий с рёбрами тетраэдра.
   • Прямая $NT_1$ пересекает рёбра $DB$ и $DC$ в точках $V_1$ и $V_2$ соответственно. $V_1 = NT_1 \cap DB$, $V_2 = NT_1 \cap DC$.
   • Прямая $KT_2$ пересекает рёбра $DC$ и $DA$. Точка пересечения с ребром $DC$ совпадает с $V_2$. Точку пересечения с ребром $DA$ обозначим $V_3$. $V_3 = KT_2 \cap DA$.
   • Прямая $MT_3$ должна пройти через уже найденные точки $V_3$ и $V_1$, лежащие на рёбрах $DA$ и $DB$.
2. Соединив последовательно точки $V_1$, $V_2$ и $V_3$, получим треугольник $V_1V_2V_3$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $V_1V_2V_3$, построенный согласно описанному выше алгоритму.

3.37. Точки $F$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ASB$, $ABC$ и $CSD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью $FMK$.

Рис. 3.55

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три заданные точки F, M и K, воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды. Затем, используя этот след, мы последовательно находим линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями пирамиды и, таким образом, строим сам многоугольник сечения.

Обозначим секущую плоскость как $(\alpha) = (FMK)$, а плоскость основания пирамиды — $(ABCD)$.

1. Построение следа плоскости $(\alpha)$ на плоскости основания $(ABCD)$.

   След — это прямая, по которой плоскость $(\alpha)$ пересекает плоскость $(ABCD)$. Для построения прямой необходимы две точки. Одна точка, M, по условию уже принадлежит обеим плоскостям. Найдем вторую точку пересечения.

   1. Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $FK$ (которая лежит в секущей плоскости $(\alpha)$) с плоскостью основания $(ABCD)$. Для этого применим метод вспомогательных проекций с центром в вершине пирамиды S.
   2. Спроецируем точку F, лежащую на грани $ASB$, на плоскость основания. Проведем прямую через вершину S и точку F до пересечения с прямой $AB$ в точке $F_1$. Таким образом, $F_1 = SF \cap AB$. Точки S, F, и $F_1$ лежат на одной прямой.
   3. Аналогично спроецируем точку K, лежащую на грани $CSD$. Проведем прямую через S и K до пересечения с прямой $CD$ в точке $K_1$. Таким образом, $K_1 = SK \cap CD$. Точки S, K, и $K_1$ лежат на одной прямой.
   4. Теперь рассмотрим прямые $FK$ и $F_1K_1$. Прямая $FK$ лежит в секущей плоскости $(\alpha)$, а прямая $F_1K_1$ — в плоскости основания $(ABCD)$. Обе эти прямые также лежат во вспомогательной плоскости $(SF_1K_1)$, а значит, они пересекаются (или параллельны). Найдем точку их пересечения: $P = FK \cap F_1K_1$.
   5. Построенная точка P принадлежит прямой $FK$, следовательно, она лежит в секущей плоскости $(\alpha)$. Также точка P принадлежит прямой $F_1K_1$, следовательно, она лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Таким образом, P — это вторая искомая точка следа.
   6. Проводим прямую через точки P и M. Прямая $l = PM$ и является следом секущей плоскости $(\alpha)$ на плоскости основания $(ABCD)$.
2. Построение многоугольника сечения.

   Вершины искомого многоугольника сечения являются точками пересечения секущей плоскости $(\alpha)$ с ребрами пирамиды. Мы найдем их, последовательно строя линии пересечения плоскости $(\alpha)$ с каждой гранью пирамиды.

   1. Сначала найдем точки пересечения следа $l$ с прямыми, содержащими стороны основания пирамиды. Обозначим эти точки: $T_1 = l \cap AB$, $T_2 = l \cap BC$, $T_3 = l \cap CD$, $T_4 = l \cap DA$. Эти точки являются точками схода для линий сечения на боковых гранях.
   2. Грань ASB: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(ASB)$ определяется двумя точками: точкой F (которая дана по условию) и точкой $T_1$ (т.к. $T_1 \in l \subset (\alpha)$ и $T_1 \in AB \subset (ASB)$). Проводим прямую $FT_1$.
   3. Находим точки пересечения прямой $FT_1$ с боковыми ребрами $SA$ и $SB$. Пусть это будут точки $V_1 = FT_1 \cap SA$ и $V_2 = FT_1 \cap SB$. Отрезок $V_1V_2$ — это сторона сечения, лежащая на грани ASB.
   4. Грань SBC: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(SBC)$ проходит через уже найденную точку $V_2$ и точку схода $T_2 = l \cap BC$. Проводим прямую $V_2T_2$.
   5. Находим точку пересечения прямой $V_2T_2$ с ребром $SC$. Пусть это точка $V_3 = V_2T_2 \cap SC$. Отрезок $V_2V_3$ — это сторона сечения на грани SBC.
   6. Грань CSD: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(CSD)$ должна проходить через точки $V_3$, K и $T_3$. То, что все три точки лежат на одной прямой, служит проверкой правильности построений. Проводим прямую $V_3K$ (или $KT_3$).
   7. Находим точку пересечения этой прямой с ребром $SD$: $V_4 = V_3K \cap SD$. Отрезок $V_3V_4$ — сторона сечения на грани CSD.
   8. Грань SDA: Линия пересечения плоскости $(\alpha)$ с плоскостью грани $(SDA)$ проходит через точки $V_4$ и $V_1$. Прямая $V_1V_4$ также должна проходить через точку схода $T_4 = l \cap DA$, что является еще одной проверкой построений. Отрезок $V_1V_4$ — последняя сторона сечения.
3. Результат.

   Последовательно соединив точки $V_1, V_2, V_3, V_4$, мы получаем искомый многоугольник сечения — в данном случае четырехугольник $V_1V_2V_3V_4$. В зависимости от расположения исходных точек сечение может быть также пяти- или шестиугольником, если оно пересекает и ребра основания.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, построенный в соответствии с описанным выше алгоритмом. Его вершинами являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (в общем случае $V_1, V_2, V_3, V_4$ и, возможно, точки на ребрах основания).

3.38. Точки $F$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно граням $ASB$, $ASD$ и $DSC$ пирамиды $SABCD$ (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью $FMK$.

Рис. 3.55

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три точки F, M и K, лежащие на различных боковых гранях, наиболее универсальным является метод следов. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След – это прямая пересечения секущей плоскости (FMK) с плоскостью основания пирамиды (ABCD). Чтобы построить эту прямую, необходимо найти две ее точки.

• Нахождение первой точки следа ($P_1$).
  1. Рассмотрим точки F и M, лежащие на смежных гранях (SAB) и (SAD). Эти грани пересекаются по ребру SA.
  2. Во вспомогательной плоскости (SAB) проведем прямую через вершину S и точку F. Найдем ее точку пересечения с прямой AB, лежащей в основании: $F_1 = SF \cap AB$.
  3. Аналогично в плоскости (SAD) проведем прямую SM и найдем ее точку пересечения с прямой AD: $M_1 = SM \cap AD$.
  4. Прямые FM и $F_1M_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости (SFM). Найдем точку их пересечения: $P_1 = FM \cap F_1M_1$.
  5. Точка $P_1$ принадлежит прямой FM, а значит, и секущей плоскости (FMK). Точка $P_1$ также принадлежит прямой $F_1M_1$, а значит, и плоскости основания (ABCD). Таким образом, $P_1$ — первая точка искомого следа.
• Нахождение второй точки следа ($P_2$).
  1. Рассмотрим точки M и K, лежащие на смежных гранях (SAD) и (SDC). Эти грани пересекаются по ребру SD.
  2. Точка $M_1 = SM \cap AD$ уже построена.
  3. В плоскости (SDC) проведем прямую SK и найдем ее точку пересечения с прямой DC: $K_1 = SK \cap DC$.
  4. Прямые MK и $M_1K_1$ лежат в одной вспомогательной плоскости (SMK). Найдем точку их пересечения: $P_2 = MK \cap M_1K_1$.
  5. Точка $P_2$ является второй точкой следа, так как она одновременно принадлежит секущей плоскости (FMK) и плоскости основания (ABCD).
• Проведение следа. Прямая $p$, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является следом секущей плоскости (FMK) на плоскости основания.

2. Построение сторон многоугольника сечения

Вершины сечения — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды. Их находят с помощью следа $p$.

• Найдем точки пересечения следа $p$ с прямыми, на которых лежат стороны основания: $L_{AB} = p \cap AB$, $L_{AD} = p \cap AD$, $L_{DC} = p \cap DC$ и т.д.
• Пересечение с гранью (SAD). Точка M (по условию) и точка $L_{AD}$ (на следе) лежат и в секущей плоскости, и в плоскости грани (SAD). Прямая $ML_{AD}$ является линией пересечения этих плоскостей. Эта прямая пересекает боковые ребра SA и SD в точках $Q_A$ и $Q_D$. Отрезок $Q_AQ_D$ — сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SAB). Точка F и точка $L_{AB}$ определяют линию пересечения секущей плоскости с гранью (SAB). Прямая $FL_{AB}$ пересекает ребро SB в точке $Q_B$ и должна пройти через уже найденную точку $Q_A$ на ребре SA. Отрезок $Q_AQ_B$ — вторая сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SDC). Точка K и точка $L_{DC}$ определяют линию пересечения с гранью (SDC). Прямая $KL_{DC}$ пересекает ребро SC в точке $Q_C$ и должна пройти через уже найденную точку $Q_D$. Отрезок $Q_DQ_C$ — третья сторона сечения.
• Пересечение с гранью (SBC). Две вершины сечения, $Q_B$ на ребре SB и $Q_C$ на ребре SC, уже найдены. Так как они обе лежат в грани (SBC), отрезок $Q_BQ_C$ является четвертой стороной сечения.

3. Искомое сечение

Соединив последовательно точки $Q_A, Q_B, Q_C, Q_D$ на ребрах пирамиды, получим многоугольник $Q_AQ_BQ_CQ_D$, который является искомым сечением пирамиды плоскостью (FMK).

Ответ: Построение сечения производится методом следов. Сначала находится след секущей плоскости на плоскости основания путем нахождения двух точек ($P_1$ и $P_2$) пересечения прямых (таких как FM и MK) с их проекциями на плоскость основания из вершины S. Затем с помощью этого следа последовательно строятся линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды, которые в пересечении с ребрами пирамиды дают вершины искомого многоугольника сечения.