Страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.25. На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ пирамиды $MABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.46). Постройте линию пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$.

Рис. 3.46

Для построения линии пересечения плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Нахождение первой общей точки

Рассмотрим плоскость боковой грани $(MBC)$. В этой плоскости лежат две прямые: $EC$, которая принадлежит плоскости $(AEC)$, и $BF$, которая принадлежит плоскости $(BDF)$.

Поскольку прямые $EC$ и $BF$ лежат в одной плоскости $(MBC)$ и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $K$.

$K = EC \cap BF$

Так как точка $K$ принадлежит прямой $EC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$. Аналогично, так как точка $K$ принадлежит прямой $BF$, она принадлежит и плоскости $(BDF)$. Таким образом, точка $K$ является одной из точек искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки

Рассмотрим плоскость основания пирамиды $(ABCD)$. В этой плоскости лежат две прямые: диагональ $AC$, которая принадлежит плоскости $(AEC)$, и диагональ $BD$, которая принадлежит плоскости $(BDF)$.

Прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и пересекаются (в общем случае). Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

$O = AC \cap BD$

Так как точка $O$ принадлежит прямой $AC$, то она принадлежит и плоскости $(AEC)$. Аналогично, так как точка $O$ принадлежит прямой $BD$, она принадлежит и плоскости $(BDF)$. Таким образом, точка $O$ является второй точкой искомой линии пересечения.

3. Построение линии пересечения

Мы нашли две различные точки, $K$ и $O$, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям $(AEC)$ и $(BDF)$. Через две точки можно провести единственную прямую. Следовательно, прямая, проходящая через точки $K$ и $O$, является линией пересечения плоскостей $(AEC)$ и $(BDF)$.

Алгоритм построения:

1. В плоскости грани $(MBC)$ строим прямые $EC$ и $BF$ и находим их точку пересечения $K$.
2. В плоскости основания $(ABCD)$ строим диагонали $AC$ и $BD$ и находим их точку пересечения $O$.
3. Проводим прямую через точки $K$ и $O$. Прямая $KO$ является искомой линией пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $AEC$ и $BDF$ является прямая $KO$, где $K$ — точка пересечения прямых $EC$ и $BF$, а $O$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$.

3.26. На рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно (рис. 3.47). Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Рис. 3.47

Для построения сечения призмы плоскостью $CDE$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Эти линии образуют многоугольник, который и является искомым сечением. Построение выполним в несколько шагов.

Шаг 1. Построение отрезков сечения на гранях, содержащих заданные точки

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани призмы.

• Точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости боковой грани $AA_1C_1C$ (точка $C$ — вершина призмы, а точка $D$ лежит на ребре $AA_1$). Следовательно, отрезок $CD$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$ и одной из сторон искомого сечения.
• Точки $D$ (на ребре $AA_1$) и $E$ (на ребре $A_1B_1$) принадлежат плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок $DE$ также является стороной сечения, лежащей в этой грани.

Шаг 2. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем прямую, по которой секущая плоскость $(CDE)$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

1. Прямая $DE$ лежит в секущей плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания. Обе эти прямые находятся в одной плоскости — плоскости грани $AA_1B_1B$. Найдем точку их пересечения, продлив отрезки $DE$ и $AB$. Обозначим эту точку буквой $F$. Таким образом, $F = DE \cap AB$.
2. Точка $F$ принадлежит прямой $DE$, а значит, лежит в секущей плоскости $(CDE)$.
3. Точка $F$ принадлежит прямой $AB$, а значит, лежит в плоскости основания $(ABC)$.
4. Точка $C$ также принадлежит обеим этим плоскостям по условию.
5. Следовательно, прямая $FC$ является линией пересечения секущей плоскости $(CDE)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эту прямую называют следом секущей плоскости.

Шаг 3. Построение стороны сечения в плоскости верхнего основания

Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(CDE)$ пересекает их по параллельным прямым.

1. Мы уже нашли прямую пересечения с плоскостью нижнего основания — это прямая $FC$.
2. Линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ будет проходить через точку $E$ (так как $E$ принадлежит и секущей плоскости, и верхнему основанию) и будет параллельна прямой $FC$.
3. Проведем в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ через точку $E$ прямую, параллельную прямой $FC$.
4. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку буквой $H$. Отрезок $EH$ является стороной сечения, лежащей в грани верхнего основания.

Шаг 4. Завершение построения

Мы получили новую вершину сечения — точку $H$ на ребре $B_1C_1$. Точка $H$ и исходная точка $C$ лежат в одной боковой грани $BCC_1B_1$.

1. Соединим точки $H$ и $C$ отрезком. Отрезок $HC$ является последней стороной искомого сечения.
2. В результате мы получили замкнутый четырехугольник $CDEH$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $CDEH$, вершины которого лежат на ребрах призмы (и в вершине $C$), построенный в соответствии с описанным алгоритмом.

3.27. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.48). На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $MA$ за точку $A$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.48

Для построения сечения пирамиды плоскостью EFK воспользуемся методом следов. План построения следующий:

1. Найдём сторону сечения, лежащую в одной из боковых граней.
2. Построим след секущей плоскости (EFK) на плоскости основания (ABCD). След — это прямая пересечения двух плоскостей.
3. Найдём точки пересечения следа с рёбрами основания пирамиды. Это даст нам вершины многоугольника сечения.
4. Найдём оставшиеся вершины сечения, лежащие на боковых рёбрах.
5. Соединим все найденные вершины, чтобы получить искомый многоугольник сечения.

Построение:

1. Построение стороны сечения в грани (MBC)
Точки E и F по условию лежат на боковых рёбрах MB и MC соответственно. Так как оба ребра принадлежат боковой грани (MBC), то отрезок, соединяющий эти точки, является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью.
Вывод: Отрезок EF — сторона искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания (ABCD)
Для построения прямой (следа) нам необходимо найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости (EFK), и плоскости основания (ABCD).

• Нахождение первой точки следа (P):
  Рассмотрим грань (MAB). Точка E лежит на ребре MB, а точка K — на продолжении ребра MA. Следовательно, прямая KE целиком лежит как в секущей плоскости (EFK), так и в плоскости грани (MAB). В этой же плоскости (MAB) лежит прямая AB. Найдём точку пересечения этих прямых: $P = KE \cap AB$. Точка P принадлежит секущей плоскости (т.к. $P \in KE$) и плоскости основания (т.к. $P \in AB$).
• Нахождение второй точки следа (L):
  Рассмотрим плоскость (MAC), которая проходит через рёбра MA и MC. Точка F лежит на ребре MC, а точка K — на прямой MA. Следовательно, прямая KF лежит в секущей плоскости (EFK) и в плоскости (MAC). В этой же плоскости (MAC) лежит диагональ основания AC. Найдём точку пересечения этих прямых: $L = KF \cap AC$. Точка L принадлежит секущей плоскости (т.к. $L \in KF$) и плоскости основания (т.к. $L \in AC$).
• Построение следа:
  Проведём прямую через найденные точки P и L. Прямая PL является следом секущей плоскости (EFK) на плоскости основания (ABCD).

3. Нахождение вершин сечения на рёбрах основания
След PL пересекает стороны основания ABCD в точках, которые являются вершинами сечения.

• Найдём точку пересечения следа PL с ребром AD: $Q = PL \cap AD$. Точка Q — вершина сечения.
• Найдём точку пересечения следа PL с ребром CD: $R = PL \cap CD$. Точка R — вершина сечения.

Теперь у нас есть вершины E, F, R, Q. Отрезки FR (в грани MCD) и RQ (в грани ABCD) также являются сторонами сечения.

4. Нахождение вершины сечения на ребре MA
Нам осталось найти точку пересечения секущей плоскости с ребром MA. Эта точка лежит на линии пересечения секущей плоскости с гранью (MAB). Как мы установили в п.2, эта линия — прямая KE (или, что то же самое, прямая PE). Найдём точку пересечения прямой KE с ребром MA: $T = KE \cap MA$. Точка T — последняя недостающая вершина сечения.

5. Завершение построения
Соединяем последовательно все найденные вершины: T, E, F, R, Q.

• TE лежит в грани (MAB).
• EF лежит в грани (MBC).
• FR лежит в грани (MCD).
• RQ лежит в грани (ABCD).
• QT лежит в грани (MAD).

Полученный пятиугольник TEFRQ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение представляет собой пятиугольник TEFRQ, построенный согласно описанным выше шагам. Вершины этого пятиугольника лежат на рёбрах пирамиды: T на MA, E на MB, F на MC, R на CD и Q на AD.

3.28. На боковом ребре $BB_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $M$ (рис. 3.49). Постройте сечение призмы плоскостью $CMD$.

Рис. 3.49

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $(CMD)$ выполним следующие шаги:

1. Построение линий пересечения на известных гранях.
Точки $C$ и $D$ лежат одновременно в секущей плоскости и в плоскости нижнего основания $ABCD$. Следовательно, отрезок $CD$ является линией пересечения секущей плоскости и грани $ABCD$.
Аналогично, точки $C$ и $M$ лежат в секущей плоскости и в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $CM$ является линией пересечения секущей плоскости и грани $BCC_1B_1$.

2. Построение линии пересечения на параллельной грани.
В призме противоположные боковые грани параллельны. Таким образом, плоскость грани $AA_1D_1D$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$.
По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения параллельны. Наша секущая плоскость $(CMD)$ пересекает грань $(BCC_1B_1)$ по прямой $CM$. Значит, параллельную ей грань $(AA_1D_1D)$ она должна пересекать по прямой, параллельной $CM$.
Точка $D$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $(AA_1D_1D)$. Поэтому в плоскости грани $(AA_1D_1D)$ проведем прямую через точку $D$ параллельно прямой $CM$. Эта прямая пересечет боковое ребро $AA_1$ в некоторой точке $K$. Отрезок $DK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(AA_1D_1D)$. Таким образом, мы строим $DK \parallel CM$.

3. Завершение построения сечения.
Мы получили точки $K$ на ребре $AA_1$ и $M$ на ребре $BB_1$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости, а также лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Соединим точки $K$ и $M$ отрезком. Отрезок $KM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.

Таким образом, мы построили все стороны сечения, которые образуют замкнутый четырехугольник $CDKM$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $CDKM$, где точка $K$ лежит на ребре $AA_1$ и построена так, что отрезок $DK$ параллелен отрезку $CM$.

3.29. На ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ (рис. 3.50). Постройте сечение призмы плоскостью $BA_1E$.

Рис. 3.50

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $A_1$ и $E$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы. Обозначим секущую плоскость как $(BA_1E)$.

1. Построение сторон сечения, лежащих на известных гранях

Сначала соединим точки, которые лежат в одной и той же грани призмы. Точки $B$ и $A_1$ принадлежат плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $BA_1$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Аналогично, точки $B$ и $E$ принадлежат плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, получаем отрезок $BE$ — вторую сторону сечения.

2. Нахождение новой вершины сечения с помощью метода следов

Для дальнейшего построения найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(BA_1E)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Для построения прямой необходимы две точки. Одна точка, $A_1$, нам уже известна, так как она принадлежит секущей плоскости и плоскости верхнего основания. Чтобы найти вторую точку, рассмотрим прямые $BE$ и $B_1C_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Поскольку в призме боковые ребра параллельны и основания параллельны, то прямые $BE$ и $B_1C_1$ не параллельны (в общем случае) и, следовательно, пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $F$, то есть $F = BE \cap B_1C_1$. Точка $F$ принадлежит прямой $BE$, а значит, и секущей плоскости $(BA_1E)$. В то же время, точка $F$ принадлежит прямой $B_1C_1$, а значит, и плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Таким образом, точка $F$ лежит на линии пересечения этих двух плоскостей. Проведем прямую $A_1F$ — это и есть след секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $K$. Точка $K$ является новой вершиной сечения.

3. Завершение построения сечения

Мы получили новую вершину сечения $K$ на ребре $C_1D_1$. Теперь можно построить оставшиеся стороны. Отрезок $A_1K$ соединяет две точки сечения на грани верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Точки $E$ и $K$ лежат на одной грани $DCC_1D_1$ (так как $E \in CC_1$ и $K \in C_1D_1$), поэтому отрезок $EK$ также является стороной сечения. Соединив последовательно точки $A_1$, $B$, $E$ и $K$, получаем замкнутый четырехугольник $A_1BEK$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $A_1BEK$, вершины которого лежат на ребрах призмы: $A_1$ и $B$ — вершины призмы, точка $E$ лежит на ребре $CC_1$, а точка $K$ — на ребре $C_1D_1$.

3.30. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.

Для того чтобы сечение куба плоскостью было пятиугольником, секущая плоскость должна пересекать ровно пять из шести граней куба. Чтобы добиться этого, нужно выбрать три точки таким образом, чтобы они не лежали в одной или параллельных гранях и чтобы плоскость, проходящая через них, "задевала" пять граней.

Рассмотрим один из возможных примеров расположения точек и построим соответствующее сечение.

Построение

1. Выберем на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ три точки: точку $P$ на ребре $AB$, точку $Q$ на ребре $AD$ и точку $R$ на ребре $CC_1$.
2. Шаг 1. Точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим их отрезком. Отрезок $PQ$ является стороной искомого сечения.
3. Шаг 2. Для нахождения остальных вершин сечения воспользуемся методом следов. Продлим отрезок $PQ$ в обе стороны до пересечения с продолжениями ребер $BC$ и $DC$.
   • Пусть прямая $PQ$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$.
   • Пусть прямая $PQ$ пересекает прямую $DC$ в точке $Y$.
   Точки $X$ и $Y$ лежат на следе секущей плоскости в плоскости $ABCD$.
4. Шаг 3. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Точка $R$ (на ребре $CC_1$) и точка $X$ (на продолжении ребра $BC$) принадлежат как плоскости этой грани, так и секущей плоскости. Проведем через них прямую $RX$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $S$. Точка $S$ — это еще одна вершина нашего сечения.
5. Шаг 4. Аналогично рассмотрим грань $DCC_1D_1$. Точка $R$ (на ребре $CC_1$) и точка $Y$ (на продолжении ребра $DC$) принадлежат плоскости этой грани и секущей плоскости. Проведем через них прямую $RY$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $T$. Точка $T$ — пятая вершина сечения.
6. Шаг 5. Теперь соединим все найденные вершины, которые лежат на ребрах куба, отрезками. Каждая пара соседних вершин лежит в одной грани куба:
   • $Q \in AD$ и $P \in AB$ лежат в грани $ABCD$. Соединяем $QP$.
   • $P \in AB$ и $S \in BB_1$ лежат в грани $ABB_1A_1$. Соединяем $PS$.
   • $S \in BB_1$ и $R \in CC_1$ лежат в грани $BCC_1B_1$. Соединяем $SR$.
   • $R \in CC_1$ и $T \in DD_1$ лежат в грани $DCC_1D_1$. Соединяем $RT$.
   • $T \in DD_1$ и $Q \in AD$ лежат в грани $ADD_1A_1$. Соединяем $TQ$.

В результате построен многоугольник $QPSRT$. У него 5 вершин и 5 сторон, следовательно, это пятиугольник. Секущая плоскость пересекает 5 граней куба: $ABCD$, $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $DCC_1D_1$ и $ADD_1A_1$.

Ответ: Чтобы сечение куба было пятиугольником, можно отметить одну точку на ребре $AB$, вторую точку на смежном ребре $AD$, и третью точку на ребре $CC_1$.