Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.6. На боковых рёбрах $SA$ и $SC$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся следующим методом:

1. Определим плоскость, в которой лежит прямая $MK$. Так как точка $M$ лежит на ребре $SA$, а точка $K$ — на ребре $SC$, то обе эти точки, а значит и вся прямая $MK$, лежат в плоскости боковой грани $SAC$.

2. Найдем линию пересечения плоскости $(SAC)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Точки $A$ и $C$ являются общими для этих двух плоскостей, следовательно, прямая $AC$ является линией их пересечения.

3. Найдем точку пересечения прямой $MK$ с найденной линией $AC$. Прямые $MK$ и $AC$ лежат в одной плоскости $(SAC)$. Если они не параллельны (что является общим случаем), то они пересекаются. Точка их пересечения и будет искомой точкой, так как она одновременно принадлежит прямой $MK$ и плоскости $(ABC)$ (поскольку лежит на прямой $AC$).

Построение:

1. Проводим прямую через точки $A$ и $C$.

2. Проводим прямую через точки $M$ и $K$.

3. Находим точку пересечения прямых $MK$ и $AC$. Обозначим эту точку $P$.

Обоснование:

• По построению, точка $P$ принадлежит прямой $MK$ ($P \in MK$).

• По построению, точка $P$ принадлежит прямой $AC$. Так как прямая $AC$ целиком лежит в плоскости основания ($AC \subset (ABC)$), то и точка $P$ принадлежит плоскости $ABC$ ($P \in (ABC)$).

Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AC$.

3.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через:

1) точки $A$, $C$ и $B_1$;

2) прямую $BD$ и точку $C_1$.

1) точки A, C и B₁

Чтобы построить сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, C$ и $B_1$, необходимо последовательно соединить эти точки отрезками, если они лежат в одной грани.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $AC$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. Точки $A$ и $B_1$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $AB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.

3. Точки $B_1$ и $C$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $B_1C$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

Полученные отрезки $AC$, $AB_1$ и $B_1C$ образуют замкнутую фигуру — треугольник $AB_1C$. Этот треугольник является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях куба, а вершины являются заданными точками.

Ответ: искомое сечение – треугольник $AB_1C$.

2) прямую BD и точку C₁

Секущая плоскость проходит через прямую $BD$ и точку $C_1$. Это означает, что плоскость сечения определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $B$, $D$ и $C_1$.

Для построения сечения выполним следующие шаги:

1. Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Отрезок $BD$ принадлежит сечению по условию.

2. Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $BC_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $DCC_1D_1$.

Полученные отрезки $BD$, $BC_1$ и $DC_1$ образуют замкнутую фигуру — треугольник $BDC_1$. Этот треугольник является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях куба.

Ответ: искомое сечение – треугольник $BDC_1$.

3.8. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямые $AC_1$ и $BC_1$.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямые $AC_1$ и $BC_1$, необходимо определить, как эта плоскость пересекает грани призмы.

Прямые $AC_1$ и $BC_1$ пересекаются в точке $C_1$. Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Все точки, лежащие на этих прямых, в частности точки $A$, $B$ и $C_1$, принадлежат секущей плоскости $\alpha$.

Искомое сечение — это многоугольник, образованный пересечением плоскости $\alpha$ с гранями призмы. Сторонами этого многоугольника будут отрезки, по которым плоскость $\alpha$ пересекает грани.

1. Точки $A$ и $B$ лежат как в секущей плоскости $\alpha$, так и в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, линия их пересечения — прямая $AB$. Отрезок $AB$, являющийся ребром основания призмы, есть одна из сторон искомого сечения.

2. Точки $A$ и $C_1$ лежат как в секущей плоскости $\alpha$, так и в плоскости боковой грани $(AA_1C_1C)$. Следовательно, линия их пересечения — прямая $AC_1$. Отрезок $AC_1$, являющийся диагональю этой грани, есть вторая сторона сечения.

3. Точки $B$ и $C_1$ лежат как в секущей плоскости $\alpha$, так и в плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$. Следовательно, линия их пересечения — прямая $BC_1$. Отрезок $BC_1$, являющийся диагональю этой грани, есть третья сторона сечения.

Соединив эти три отрезка, мы получаем замкнутую фигуру — треугольник $ABC_1$. Все его стороны ($AB$, $BC_1$ и $AC_1$) лежат на гранях призмы. Таким образом, треугольник $ABC_1$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $ABC_1$.

3.9. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.31). Точка $E$ принадлежит прямой $A_1B_1$, точка $F$ — прямой $BB_1$, точка $M$ — прямой $B_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью $EFM$.

а

б

в

г

Рис. 3.31

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через три точки $E, F, M$, используется метод следов. Суть метода заключается в нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы. Вершинами искомого сечения являются точки пересечения этих следов с ребрами призмы.

Обозначим секущую плоскость как $\alpha = (EFM)$.

а

В данном случае точки $E, F, M$ лежат на ребрах призмы: $E \in [A_1B_1]$, $F \in [BB_1]$, $M \in [B_1C_1]$.

1. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является стороной сечения и лежит на этой грани.
2. Точки $F$ и $M$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $FM$ является стороной сечения и лежит на этой грани.
3. Точки $E$ и $M$ лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок $EM$ является стороной сечения и лежит на этой грани.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник, вершины которого — заданные точки $E, F, M$.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $EFM$.

б

В данном случае точка $M$ лежит на ребре $B_1C_1$, а точки $E$ и $F$ лежат на продолжениях ребер $A_1B_1$ и $BB_1$ соответственно.

1. Точка $M$ лежит на ребре $B_1C_1$, значит, $M$ — одна из вершин сечения.
2. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $A_1B_1C_1D_1$. Этот след проходит через точки $E$ и $M$. Проведем прямую $EM$. Она пересекает ребро $A_1D_1$ в некоторой точке $P$. Отрезок $MP$ — сторона сечения.
3. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $BCC_1B_1$. Этот след проходит через точки $F$ и $M$. Проведем прямую $FM$. Она пересекает ребро $BC$ в некоторой точке $Q$. Отрезок $MQ$ — сторона сечения.
4. Построим след плоскости $\alpha$ на грани $ABB_1A_1$. Этот след проходит через точки $E$ и $F$. Проведем прямую $EF$. Она пересекает ребро $AA_1$ в точке $R$ и ребро $AB$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — сторона сечения.
5. Теперь у нас есть вершины сечения: $M \in B_1C_1$, $P \in A_1D_1$, $Q \in BC$, $R \in AA_1$, $S \in AB$. Соединим последовательно вершины, лежащие на одной грани:
   • $PM$ на грани $A_1B_1C_1D_1$.
   • $MQ$ на грани $BCC_1B_1$.
   • $QS$ на грани $ABCD$ (точки $Q$ и $S$ лежат в плоскости основания).
   • $SR$ на грани $ABB_1A_1$.
   • $RP$ на грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $PMQSR$.

в

В данном случае точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, а точки $F$ и $M$ лежат на продолжениях ребер $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

1. Точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, значит, $E$ — одна из вершин сечения.
2. Проведем прямую $EM$ в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Она пересекает ребро $C_1D_1$ в точке $P$. Отрезок $EP$ — сторона сечения.
3. Проведем прямую $EF$ в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Она пересекает ребро $AB$ в точке $Q$. Отрезок $EQ$ — сторона сечения.
4. Теперь найдем след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$. У нас уже есть одна точка этого следа — $Q$. Найдем вторую. Для этого проведем прямую $FM$ в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Она пересечет ребро $BC$ в точке $R$. Прямая $QR$ — это след секущей плоскости на плоскости нижнего основания. Отрезок $QR$ — сторона сечения.
5. Вернемся к прямой $FM$. Она также пересекает ребро $CC_1$ в точке $S$. Отрезок $RS$ — сторона сечения на грани $BCC_1B_1$.
6. Осталось соединить точки $P$ и $S$. Обе точки лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Отрезок $PS$ — последняя сторона сечения.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EQRSP$.

г

В данном случае все три точки $E, F, M$ лежат вне призмы, на продолжениях ее ребер.

1. Построим след плоскости $\alpha$ на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Проведем прямую $EM$. Она пересекает ребра $A_1D_1$ и $D_1C_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — сторона сечения.
2. Построим след плоскости $\alpha$ на боковой грани $BCC_1B_1$. Проведем прямую $FM$. Она пересекает ребра $BC$ и $CC_1$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Отрезок $RS$ — сторона сечения.
3. Построим след плоскости $\alpha$ на передней грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую $EF$. Она пересекает ребра $AB$ и $AA_1$ в точках $T$ и $U$ соответственно. Отрезок $TU$ — сторона сечения.
4. Мы получили шесть вершин сечения на ребрах призмы: $P, Q, S, R, T, U$. Теперь соединим их последовательно по граням:
   • $PQ$ на грани $A_1B_1C_1D_1$.
   • $QS$ на грани $CDD_1C_1$ (точки $Q \in C_1D_1$ и $S \in CC_1$).
   • $SR$ на грани $BCC_1B_1$.
   • $RT$ на грани $ABCD$ (точки $R \in BC$ и $T \in AB$).
   • $TU$ на грани $ABB_1A_1$.
   • $UP$ на грани $ADD_1A_1$ (точки $U \in AA_1$ и $P \in A_1D_1$).

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $PQSRTU$.

3.10. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.32). Точка $D$ принадлежит прямой $AC$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $DEC_1$.

Рис. 3.32

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $D, E, C_1$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Построение можно выполнить в несколько шагов.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.
Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости $(DEC_1)$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$, так как точка $D$ лежит на прямой $AC$, а точка $E$ — на ребре $BC$. Прямая, проходящая через две точки, принадлежащие обеим плоскостям, является линией их пересечения. Следовательно, прямая $DE$ — это след (линия пересечения) секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$. Проведём эту прямую.

2. Нахождение вершин сечения на рёбрах призмы.
Вершины многоугольника сечения являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы.
а) Найдём точки пересечения следа $DE$ с рёбрами основания. Точка $E$ уже является вершиной сечения, так как лежит на ребре $BC$. Найдём точку пересечения прямой $DE$ с прямой, содержащей ребро $AB$. Обозначим эту точку как $M$. Судя по расположению точек на рисунке, точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Таким образом, $M$ — вторая вершина сечения. Отрезок $ME$ является стороной сечения, лежащей на грани $ABC$.
б) Рассмотрим боковую грань $AA_1C_1C$. Точки $D$ (на прямой $AC$) и $C_1$ принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости этой грани. Следовательно, прямая $DC_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $(AA_1C_1C)$. Эта прямая пересекает боковое ребро $AA_1$. Обозначим точку пересечения как $K$. Точка $K$ — третья вершина сечения.

3. Построение многоугольника сечения.
На данный момент определены все вершины искомого сечения: $M$ на ребре $AB$, $K$ на ребре $AA_1$, вершина призмы $C_1$ и $E$ на ребре $BC$. Теперь последовательно соединим отрезками те вершины, которые лежат в одной грани призмы:
• $ME$ на грани $ABC$ (построено ранее).
• $MK$: точки $M$ и $K$ лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Проводим отрезок $MK$.
• $KC_1$: точки $K$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$. Проводим отрезок $KC_1$.
• $C_1E$: точки $C_1$ и $E$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Проводим отрезок $C_1E$.
В результате получаем замкнутый четырёхугольник $MKC_1E$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MKC_1E$, где точка $M$ является точкой пересечения прямой $DE$ с ребром $AB$, а точка $K$ — точкой пересечения прямой $DC_1$ с ребром $AA_1$.

3.11. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.33). Точка $D$ принадлежит прямой $CC_1$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $AED$.

Рис. 3.33

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, E, D$, необходимо найти линии пересечения (следы) секущей плоскости $(AED)$ с гранями призмы. Вершины искомого сечения будут лежать на ребрах призмы, а его стороны — на гранях.

1. Построение следа на нижней грани. Точки $A$ и $E$ лежат одновременно в секущей плоскости $(AED)$ и в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, отрезок $AE$ является линией пересечения этих плоскостей и одной из сторон искомого сечения.

2. Построение вершин сечения на боковых гранях.Рассмотрим грань $(ACC_1A_1)$. Точки $A$ и $D$ лежат в плоскости этой грани (поскольку $D$ принадлежит прямой $CC_1$). Проведем прямую $AD$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости $(ACC_1A_1)$. Точка пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$ является вершиной сечения. Обозначим эту точку $F$. Таким образом, $F = AD \cap A_1C_1$.Теперь рассмотрим грань $(BCC_1B_1)$. Точки $E$ и $D$ лежат в плоскости этой грани (поскольку $E$ принадлежит ребру $BC$, а $D$ — прямой $CC_1$). Проведем прямую $ED$, которая является следом секущей плоскости на плоскости $(BCC_1B_1)$. Точка пересечения прямой $ED$ с ребром $B_1C_1$ является еще одной вершиной сечения. Обозначим эту точку $G$. Таким образом, $G = ED \cap B_1C_1$.

3. Построение следа на верхней грани. Точки $F$ и $G$, построенные на предыдущем шаге, обе лежат в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Соединив их, получим отрезок $FG$, который является стороной сечения на верхней грани призмы.

4. Завершение построения. Мы нашли четыре вершины искомого сечения: $A$, $E$, $G$ и $F$. Они лежат на ребрах призмы. Соединим их последовательно. Стороны сечения $AE$, $EG$, $GF$ и $FA$ лежат соответственно на гранях $(ABC)$, $(BCC_1B_1)$, $(A_1B_1C_1)$ и $(ACC_1A_1)$. Полученный четырехугольник $AEGF$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEGF$, где $F$ — точка пересечения прямой $AD$ и ребра $A_1C_1$, а $G$ — точка пересечения прямой $ED$ и ребра $B_1C_1$.