Номер 3.11, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.11. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.33). Точка $D$ принадлежит прямой $CC_1$, точка $E$ — ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $AED$.

Рис. 3.33

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $A, E, D$, необходимо найти линии пересечения (следы) секущей плоскости $(AED)$ с гранями призмы. Вершины искомого сечения будут лежать на ребрах призмы, а его стороны — на гранях.

1. Построение следа на нижней грани. Точки $A$ и $E$ лежат одновременно в секущей плоскости $(AED)$ и в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, отрезок $AE$ является линией пересечения этих плоскостей и одной из сторон искомого сечения.

2. Построение вершин сечения на боковых гранях.Рассмотрим грань $(ACC_1A_1)$. Точки $A$ и $D$ лежат в плоскости этой грани (поскольку $D$ принадлежит прямой $CC_1$). Проведем прямую $AD$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости $(ACC_1A_1)$. Точка пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$ является вершиной сечения. Обозначим эту точку $F$. Таким образом, $F = AD \cap A_1C_1$.Теперь рассмотрим грань $(BCC_1B_1)$. Точки $E$ и $D$ лежат в плоскости этой грани (поскольку $E$ принадлежит ребру $BC$, а $D$ — прямой $CC_1$). Проведем прямую $ED$, которая является следом секущей плоскости на плоскости $(BCC_1B_1)$. Точка пересечения прямой $ED$ с ребром $B_1C_1$ является еще одной вершиной сечения. Обозначим эту точку $G$. Таким образом, $G = ED \cap B_1C_1$.

3. Построение следа на верхней грани. Точки $F$ и $G$, построенные на предыдущем шаге, обе лежат в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Соединив их, получим отрезок $FG$, который является стороной сечения на верхней грани призмы.

4. Завершение построения. Мы нашли четыре вершины искомого сечения: $A$, $E$, $G$ и $F$. Они лежат на ребрах призмы. Соединим их последовательно. Стороны сечения $AE$, $EG$, $GF$ и $FA$ лежат соответственно на гранях $(ABC)$, $(BCC_1B_1)$, $(A_1B_1C_1)$ и $(ACC_1A_1)$. Полученный четырехугольник $AEGF$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEGF$, где $F$ — точка пересечения прямой $AD$ и ребра $A_1C_1$, а $G$ — точка пересечения прямой $ED$ и ребра $B_1C_1$.