Номер 3.12, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.12. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ тетраэдра $SABC$, точка $K$ — грани $BSC$ (рис. 3.34). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.34

Для построения точки пересечения прямой MK с плоскостью ABC воспользуемся методом вспомогательных сечений. В качестве вспомогательной плоскости возьмем плоскость, проходящую через точки S, M и K, то есть плоскость (SMK).

Построение и обоснование:

1. Искомая точка пересечения прямой MK с плоскостью (ABC) должна принадлежать обеим этим сущностям. Поскольку прямая MK полностью лежит во вспомогательной плоскости (SMK), искомая точка также должна лежать в плоскости (SMK). Следовательно, она должна лежать на линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

2. Найдем линию пересечения плоскостей (SMK) и (ABC). Для этого найдем две общие точки этих плоскостей.

   • Точка M по условию принадлежит грани ASB, значит, прямая SM лежит в плоскости (ASB). Прямые SM и AB лежат в одной плоскости (ASB) и, в общем случае, непараллельны. Найдем точку их пересечения, продолжив отрезок SM. Обозначим эту точку $M_1$.

     $M_1 = SM \cap AB$

     Так как точка $M_1$ лежит на прямой AB, она принадлежит плоскости основания (ABC). Так как точка $M_1$ лежит на прямой SM, она принадлежит вспомогательной плоскости (SMK). Следовательно, $M_1$ — одна из точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

   • Аналогично, точка K принадлежит грани BSC, значит, прямая SK лежит в плоскости (BSC). Прямые SK и BC лежат в одной плоскости (BSC). Найдем точку их пересечения, продолжив отрезок SK. Обозначим эту точку $K_1$.

     $K_1 = SK \cap BC$

     Так как точка $K_1$ лежит на прямой BC, она принадлежит плоскости основания (ABC). Так как точка $K_1$ лежит на прямой SK, она принадлежит вспомогательной плоскости (SMK). Следовательно, $K_1$ — вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей (SMK) и (ABC).

3. Прямая, проходящая через точки $M_1$ и $K_1$, является линией пересечения плоскости (SMK) и плоскости (ABC).

4. Искомая точка пересечения P прямой MK с плоскостью (ABC) должна лежать на прямой MK и на плоскости (ABC). Мы установили, что она также должна лежать на прямой $M_1K_1$. Таким образом, точка P является точкой пересечения прямых MK и $M_1K_1$. Обе эти прямые лежат во вспомогательной плоскости (SMK), поэтому их пересечение можно построить.

   $P = MK \cap M_1K_1$

   Точка P является искомой точкой, так как она принадлежит прямой MK и, одновременно, прямой $M_1K_1$, которая лежит в плоскости (ABC).

Ответ: Искомая точка P является точкой пересечения прямых MK и $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых SM и AB, а $K_1$ — точка пересечения прямых SK и BC.