Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.1. На рисунке 3.28 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите:

1) основания параллелепипеда;

2) боковые грани параллелепипеда;

3) боковые рёбра параллелепипеда;

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда;

5) ребро, принадлежащее граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$.

Рис. 3.28

1) основания параллелепипеда;

Основаниями параллелепипеда являются две его противоположные, параллельные и равные грани. В данном случае в качестве оснований можно выбрать нижнюю и верхнюю грани. Нижнее основание — это прямоугольник $ABCD$, а верхнее основание — это прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) боковые грани параллелепипеда;

Боковые грани — это грани, соединяющие основания. В прямоугольном параллелепипеде все боковые грани являются прямоугольниками. Таких граней четыре:

• передняя грань $AA_1B_1B$
• правая боковая грань $BB_1C_1C$
• задняя грань $CC_1D_1D$
• левая боковая грань $DD_1A_1A$

Ответ: $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$, $DD_1A_1A$.

3) боковые рёбра параллелепипеда;

Боковые рёбра — это рёбра, которые не принадлежат основаниям. Они соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. В прямоугольном параллелепипеде они равны между собой и перпендикулярны плоскостям оснований. Это рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда;

Нижним основанием является прямоугольник $ABCD$. Его рёбрами являются стороны этого прямоугольника. Это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Ответ: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

5) ребро, принадлежащее граням $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$;

Для нахождения ребра, принадлежащего одновременно двум граням, необходимо найти их линию пересечения.
Первая грань — это $BB_1C_1C$. Она образована вершинами $B$, $B_1$, $C_1$, $C$.
Вторая грань — это $DD_1C_1C$. Она образована вершинами $D$, $D_1$, $C_1$, $C$.
Общими вершинами для этих двух граней являются вершины $C$ и $C_1$. Следовательно, их общим ребром является отрезок, соединяющий эти вершины — ребро $CC_1$.

Ответ: $CC_1$.

3.2. На рисунке 3.29 изображена пирамида $MABC$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 3.29

1) основание пирамиды;
Основание пирамиды — это многоугольник, который не содержит её вершину. В пирамиде MABC основанием является треугольник, образованный точками A, B и C.
Ответ: треугольник ABC (или $\triangle ABC$).

2) вершину пирамиды;
Вершина пирамиды — это точка, соединяющая все боковые грани и не принадлежащая плоскости основания. В данной пирамиде это точка M.
Ответ: точка M.

3) боковые грани пирамиды;
Боковые грани — это треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) и стороны, являющиеся рёбрами основания. Боковыми гранями являются треугольники MAB, MBC и MAC.
Ответ: треугольники MAB, MBC, MAC (или $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MAC$).

4) боковые рёбра пирамиды;
Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. В данном случае это отрезки MA, MB и MC.
Ответ: отрезки MA, MB, MC.

5) рёбра основания пирамиды.
Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании. Для треугольного основания ABC это отрезки AB, BC и AC.
Ответ: отрезки AB, BC, AC.

3.3. На ребре $BC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Какая прямая является линией пересечения плоскостей: 1) $ASD$ и $ABC$; 2) $ASD$ и $BSC$; 3) $ASD$ и $ASC$? Постройте сечение тетраэдра плоскостью $ASD$.

1) ASD и ABC

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $ABC$ определена точками $A$, $B$ и $C$.
1. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $D$ по условию лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости $ABC$, следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $ABC$. По определению плоскости $ASD$, точка $D$ принадлежит и ей.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $A$ и $D$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Прямая $AD$.

2) ASD и BSC

Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $BSC$ определена точками $B$, $S$ и $C$.
1. Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $D$ по условию лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости $BSC$, следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $BSC$. По определению плоскости $ASD$, точка $D$ принадлежит и ей.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $S$ и $D$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Прямая $SD$.

3) ASD и ASC

Плоскость $ASD$ определена точками $A$, $S$ и $D$.
Плоскость $ASC$ определена точками $A$, $S$ и $C$.
1. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
2. Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по определению.
Таким образом, обе плоскости проходят через точки $A$ и $S$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через эти две точки. Эта прямая совпадает с ребром тетраэдра $AS$.
Ответ: Прямая $AS$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью ASD.

Сечение тетраэдра плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах тетраэдра, а стороны — на его гранях.
Секущая плоскость $ASD$ задана тремя точками: вершинами тетраэдра $A$ и $S$ и точкой $D$, лежащей на ребре $BC$.
Чтобы построить сечение, нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра.
1. Плоскость $ASD$ пересекает грань $ABC$ по отрезку $AD$ (согласно пункту 1).
2. Плоскость $ASD$ пересекает грань $BSC$ по отрезку $SD$ (согласно пункту 2).
3. Плоскость $ASD$ пересекает грани $ASC$ и $ASB$ по их общему ребру $AS$.
Соединив точки $A$, $S$ и $D$, мы получим треугольник $ASD$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра. Для построения достаточно соединить точку $D$ на ребре $BC$ с вершинами $A$ и $S$.
Ответ: Сечением является треугольник $ASD$.

3.4. Точка $M$ принадлежит грани $ASC$ тетраэдра $SABC$, точка $D$ — ребру $BC$ (рис. 3.30). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$.

Рис. 3.30

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $\alpha$, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$, необходимо найти отрезки, по которым эта плоскость пересекает грани тетраэдра.

Плоскость сечения $\alpha$ задана тремя точками, не лежащими на одной прямой: $S$, $D$ и $M$.

• Грань $SBC$: Точки $S$ и $D$ принадлежат и плоскости сечения $\alpha$, и плоскости грани $SBC$. Следовательно, линия их пересечения – это прямая $SD$. Отрезок $SD$ является стороной искомого сечения.

• Грань $ASC$: Точки $S$ и $M$ принадлежат и плоскости сечения $\alpha$, и плоскости грани $ASC$. Следовательно, прямая $SM$ является линией пересечения этих плоскостей. Чтобы найти сторону сечения, лежащую в этой грани, найдем точку пересечения прямой $SM$ с ребром $AC$. Обозначим эту точку пересечения как $E$. Точка $E$ ($E = SM \cap AC$) принадлежит ребру $AC$ и плоскости сечения $\alpha$. Таким образом, отрезок $SE$ является второй стороной сечения.

• Грань $ABC$: Мы нашли две точки, принадлежащие одновременно и плоскости сечения $\alpha$, и плоскости основания $ABC$: это точка $D$ (на ребре $BC$) и точка $E$ (на ребре $AC$). Следовательно, линия пересечения плоскостей – это прямая $DE$. Отрезок $DE$ является третьей стороной сечения.

Соединив последовательно точки $S$, $D$ и $E$, получаем треугольник $SDE$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра.

Построение:

1. В плоскости грани $ASC$ проводим прямую через точки $S$ и $M$.
2. Находим точку $E$ — точку пересечения прямой $SM$ и ребра $AC$.
3. Соединяем отрезками точки $S$, $D$ и $E$.

Полученный треугольник $SDE$ — искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $SDE$, где $E$ — точка пересечения прямой $SM$ и ребра $AC$.

3.5. 💻 На боковых рёбрах $SA$ и $SB$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Задача состоит в том, чтобы найти точку, которая одновременно принадлежит прямой $MK$ и плоскости $ABC$.

1. Прямая $MK$ определяется двумя точками: $M$ и $K$. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, а точка $K$ — на ребре $SB$. Ребра $SA$ и $SB$ являются пересекающимися прямыми, которые задают единственную плоскость — плоскость боковой грани $(SAB)$. Так как точки $M$ и $K$ принадлежат плоскости $(SAB)$, то и вся прямая $MK$ лежит в этой плоскости.

2. Теперь найдем линию пересечения плоскости $(SAB)$, в которой лежит прямая $MK$, и плоскости основания $(ABC)$. Обе эти плоскости проходят через точки $A$ и $B$. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, плоскости $(SAB)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $AB$.

3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать как на прямой, так и в плоскости. Поскольку прямая $MK$ целиком лежит в плоскости $(SAB)$, то точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $AB$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, лежащих в одной плоскости $(SAB)$: прямой $MK$ и прямой $AB$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $M$ и $K$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Найти точку пересечения построенных прямых $MK$ и $AB$. Эта точка и будет искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $MK$ и прямой $AB$.