Страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.43. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение площади треугольника $EBF$ к площади треугольника $ABC$.

Пусть $M$ - точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Проведем медиану $BM_1$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $M$ лежит на этой медиане.

По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, для медианы $BM_1$ выполняется соотношение:$BM : MM_1 = 2:1$Отсюда следует, что $BM = \frac{2}{3} BM_1$, или $\frac{BM}{BM_1} = \frac{2}{3}$.

По условию задачи, через точку $M$ проведена прямая $EF$, параллельная стороне $AC$ ($E \in AB$, $F \in BC$).Рассмотрим треугольники $EBF$ и $ABC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Угол $\angle BEF$ равен углу $\angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$) по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:$\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2$Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон, а также отношению длин соответственных высот.$k = \frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$

Чтобы найти коэффициент подобия, рассмотрим треугольник $ABM_1$. Прямая $EF$ пересекает его стороны $AB$ и $BM_1$ в точках $E$ и $M$ соответственно. Так как $EF \parallel AC$, то отрезок $EM$ параллелен отрезку $AM_1$ (поскольку $M_1$ лежит на $AC$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса) для угла $ABM_1$ и параллельных прямых $EM$ и $AM_1$:$\frac{BE}{BA} = \frac{BM}{BM_1}$

Как мы установили ранее из свойства медиан, $\frac{BM}{BM_1} = \frac{2}{3}$.Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{BE}{BA} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем искомое отношение площадей:$\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.