Номер 3.28, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.28. На боковом ребре $BB_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $M$ (рис. 3.49). Постройте сечение призмы плоскостью $CMD$.

Рис. 3.49

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $(CMD)$ выполним следующие шаги:

1. Построение линий пересечения на известных гранях.
Точки $C$ и $D$ лежат одновременно в секущей плоскости и в плоскости нижнего основания $ABCD$. Следовательно, отрезок $CD$ является линией пересечения секущей плоскости и грани $ABCD$.
Аналогично, точки $C$ и $M$ лежат в секущей плоскости и в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $CM$ является линией пересечения секущей плоскости и грани $BCC_1B_1$.

2. Построение линии пересечения на параллельной грани.
В призме противоположные боковые грани параллельны. Таким образом, плоскость грани $AA_1D_1D$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$.
По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения параллельны. Наша секущая плоскость $(CMD)$ пересекает грань $(BCC_1B_1)$ по прямой $CM$. Значит, параллельную ей грань $(AA_1D_1D)$ она должна пересекать по прямой, параллельной $CM$.
Точка $D$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $(AA_1D_1D)$. Поэтому в плоскости грани $(AA_1D_1D)$ проведем прямую через точку $D$ параллельно прямой $CM$. Эта прямая пересечет боковое ребро $AA_1$ в некоторой точке $K$. Отрезок $DK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(AA_1D_1D)$. Таким образом, мы строим $DK \parallel CM$.

3. Завершение построения сечения.
Мы получили точки $K$ на ребре $AA_1$ и $M$ на ребре $BB_1$. Обе эти точки принадлежат секущей плоскости, а также лежат в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Соединим точки $K$ и $M$ отрезком. Отрезок $KM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.

Таким образом, мы построили все стороны сечения, которые образуют замкнутый четырехугольник $CDKM$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $CDKM$, где точка $K$ лежит на ребре $AA_1$ и построена так, что отрезок $DK$ параллелен отрезку $CM$.