Номер 3.23, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.23. На рёбрах $AB$, $BC$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ отмечены соответственно точки $M$, $K$ и $N$ (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 3.44

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Построение можно выполнить в несколько шагов:

1. Точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $AB$ и $BC$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани $(ABC)$, поэтому точки $M$ и $K$ лежат в плоскости этой грани. Соединив их, мы получим отрезок $MK$, который является одной из сторон искомого сечения — линией пересечения секущей плоскости с гранью $(ABC)$.
2. Аналогично, точки $K$ и $N$ лежат на ребрах $BC$ и $CD$, принадлежащих грани $(BCD)$. Соединив их, получим отрезок $KN$ — еще одну сторону сечения, являющуюся линией пересечения секущей плоскости с гранью $(BCD)$.
3. Чтобы найти остальные стороны сечения, необходимо найти точку пересечения секущей плоскости с ребром $AD$. Для этого воспользуемся методом следов. Прямые $MK$ и $AC$ лежат в одной плоскости $(ABC)$. Продлим их до пересечения в точке $E$. Таким образом, $E = MK \cap AC$.
4. Точка $E$ принадлежит прямой $MK$, а значит, лежит в секущей плоскости $(MNK)$. Также точка $E$ принадлежит прямой $AC$, а значит, лежит в плоскости грани $(ACD)$. Точка $N$ по условию принадлежит ребру $CD$, следовательно, она также лежит в плоскости $(ACD)$ и в секущей плоскости $(MNK)$.
5. Поскольку обе точки, $E$ и $N$, принадлежат как секущей плоскости $(MNK)$, так и плоскости грани $(ACD)$, то прямая, проходящая через них, является линией пересечения этих двух плоскостей. Проведем прямую $EN$.
6. Искомая четвертая вершина сечения является точкой пересечения секущей плоскости с ребром $AD$. Так как ребро $AD$ лежит в плоскости $(ACD)$, эта точка должна лежать на линии пересечения $EN$ и ребра $AD$. Обозначим эту точку как $P$. Таким образом, $P = EN \cap AD$.
7. Теперь у нас есть все вершины сечения: $M$, $K$, $N$, $P$. Соединяем точку $P$ с точкой $M$ (обе лежат в грани $(ABD)$) и с точкой $N$ (обе лежат в грани $(ACD)$).

Полученный четырехугольник $MKNP$ является искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MKNP$, где точка $P$ является точкой пересечения ребра $AD$ и прямой $EN$, а точка $E$ — точкой пересечения прямых $MK$ и $AC$.