Номер 3.20, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.20. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью $EB_1F$.

Рис. 3.41

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $B_1$ и $F$, выполним следующие шаги:

1. Точки $E$ и $B_1$ лежат в одной плоскости грани $AA_1B_1B$. Соединим их отрезком $EB_1$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$ и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Аналогично, точки $B_1$ и $F$ лежат в одной плоскости грани $BB_1C_1C$. Соединим их отрезком $B_1F$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Воспользуемся свойством параллельных граней куба. Грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Секущая плоскость $(EB_1F)$ пересекает грань $BB_1C_1C$ по прямой $B_1F$. Следовательно, она должна пересечь параллельную ей грань $AA_1D_1D$ по прямой, параллельной $B_1F$.

4. Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $AA_1D_1D$. Поэтому через точку $E$ в плоскости грани $AA_1D_1D$ проведем прямую, параллельную $B_1F$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $G$. Отрезок $EG$ является третьей стороной сечения. Таким образом, по построению $EG \parallel B_1F$.

5. Точки $F$ и $G$ теперь лежат в одной плоскости задней грани $CC_1D_1D$. Соединим их отрезком $FG$, который будет четвертой, замыкающей стороной сечения.

В результате построен четырехугольник $EB_1FG$. Этот четырехугольник и является искомым сечением куба.

Заметим, что полученное сечение является параллелограммом. По построению мы имеем $EG \parallel B_1F$. Кроме того, грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым $EB_1$ и $FG$. Так как в четырехугольнике $EB_1FG$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $EB_1FG$, где точка $G$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ с прямой, проведенной в плоскости грани $AA_1D_1D$ через точку $E$ параллельно прямой $B_1F$. Полученное сечение является параллелограммом.