Номер 3.27, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.27. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.48). На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $MA$ за точку $A$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.48

Для построения сечения пирамиды плоскостью EFK воспользуемся методом следов. План построения следующий:

1. Найдём сторону сечения, лежащую в одной из боковых граней.
2. Построим след секущей плоскости (EFK) на плоскости основания (ABCD). След — это прямая пересечения двух плоскостей.
3. Найдём точки пересечения следа с рёбрами основания пирамиды. Это даст нам вершины многоугольника сечения.
4. Найдём оставшиеся вершины сечения, лежащие на боковых рёбрах.
5. Соединим все найденные вершины, чтобы получить искомый многоугольник сечения.

Построение:

1. Построение стороны сечения в грани (MBC)
Точки E и F по условию лежат на боковых рёбрах MB и MC соответственно. Так как оба ребра принадлежат боковой грани (MBC), то отрезок, соединяющий эти точки, является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью.
Вывод: Отрезок EF — сторона искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания (ABCD)
Для построения прямой (следа) нам необходимо найти две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости (EFK), и плоскости основания (ABCD).

• Нахождение первой точки следа (P):
  Рассмотрим грань (MAB). Точка E лежит на ребре MB, а точка K — на продолжении ребра MA. Следовательно, прямая KE целиком лежит как в секущей плоскости (EFK), так и в плоскости грани (MAB). В этой же плоскости (MAB) лежит прямая AB. Найдём точку пересечения этих прямых: $P = KE \cap AB$. Точка P принадлежит секущей плоскости (т.к. $P \in KE$) и плоскости основания (т.к. $P \in AB$).
• Нахождение второй точки следа (L):
  Рассмотрим плоскость (MAC), которая проходит через рёбра MA и MC. Точка F лежит на ребре MC, а точка K — на прямой MA. Следовательно, прямая KF лежит в секущей плоскости (EFK) и в плоскости (MAC). В этой же плоскости (MAC) лежит диагональ основания AC. Найдём точку пересечения этих прямых: $L = KF \cap AC$. Точка L принадлежит секущей плоскости (т.к. $L \in KF$) и плоскости основания (т.к. $L \in AC$).
• Построение следа:
  Проведём прямую через найденные точки P и L. Прямая PL является следом секущей плоскости (EFK) на плоскости основания (ABCD).

3. Нахождение вершин сечения на рёбрах основания
След PL пересекает стороны основания ABCD в точках, которые являются вершинами сечения.

• Найдём точку пересечения следа PL с ребром AD: $Q = PL \cap AD$. Точка Q — вершина сечения.
• Найдём точку пересечения следа PL с ребром CD: $R = PL \cap CD$. Точка R — вершина сечения.

Теперь у нас есть вершины E, F, R, Q. Отрезки FR (в грани MCD) и RQ (в грани ABCD) также являются сторонами сечения.

4. Нахождение вершины сечения на ребре MA
Нам осталось найти точку пересечения секущей плоскости с ребром MA. Эта точка лежит на линии пересечения секущей плоскости с гранью (MAB). Как мы установили в п.2, эта линия — прямая KE (или, что то же самое, прямая PE). Найдём точку пересечения прямой KE с ребром MA: $T = KE \cap MA$. Точка T — последняя недостающая вершина сечения.

5. Завершение построения
Соединяем последовательно все найденные вершины: T, E, F, R, Q.

• TE лежит в грани (MAB).
• EF лежит в грани (MBC).
• FR лежит в грани (MCD).
• RQ лежит в грани (ABCD).
• QT лежит в грани (MAD).

Полученный пятиугольник TEFRQ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение представляет собой пятиугольник TEFRQ, построенный согласно описанным выше шагам. Вершины этого пятиугольника лежат на рёбрах пирамиды: T на MA, E на MB, F на MC, R на CD и Q на AD.