Номер 3.31, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.31. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.51). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на грани $AMB$ — точку $F$, на грани $CMD$ — точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.51

Для построения сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $EFK$ используется метод следов, который заключается в нахождении линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания и последующем построении точек пересечения с ребрами пирамиды. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След – это прямая, по которой секущая плоскость $(EFK)$ пересекается с плоскостью основания $(ABCD)$. Точка $E$ принадлежит ребру $AD$, которое лежит в плоскости основания, следовательно, точка $E$ уже принадлежит следу. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.

1. В плоскости грани $AMB$ проведем прямую через вершину $M$ и точку $F$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $F'$. Таким образом, $F' = MF \cap AB$.
2. Аналогично, в плоскости грани $CMD$ проведем прямую через вершину $M$ и точку $K$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $K'$. Таким образом, $K' = MK \cap CD$.
3. Прямые $FK$ и $F'K'$ лежат в одной плоскости $(MFK)$. Найдем точку их пересечения: $P = FK \cap F'K'$.
4. По построению, точка $P$ принадлежит прямой $FK$ (и, следовательно, секущей плоскости $(EFK)$) и прямой $F'K'$ (и, следовательно, плоскости основания $(ABCD)$).
5. Таким образом, прямая, проходящая через точки $E$ и $P$, является искомым следом секущей плоскости $(EFK)$ на плоскости основания $(ABCD)$.

2. Нахождение вершин многоугольника сечения

Вершины сечения — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды. Для их нахождения используются построенный след $EP$ и данные точки $F$ и $K$.

1. Найдем линию пересечения плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(CMD)$. Продлим след $EP$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $X$ ($X = EP \cap CD$). Точки $X$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям, поэтому прямая $XK$ является линией их пересечения. Прямая $XK$ пересекает ребра $MD$ и $MC$ в искомых вершинах сечения $Q$ и $R$ соответственно.
2. Аналогично найдем линию пересечения плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(AMB)$. Продлим след $EP$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $Y$ ($Y = EP \cap AB$). Точки $Y$ и $F$ принадлежат обеим плоскостям, поэтому прямая $YF$ является линией их пересечения. Прямая $YF$ пересекает ребра $MA$ и $MB$ в искомых вершинах сечения $S$ и $T$ соответственно.
3. Таким образом, мы получили пять вершин искомого сечения: точка $E$ на ребре $AD$, точка $Q$ на ребре $MD$, точка $R$ на ребре $MC$, точка $T$ на ребре $MB$ и точка $S$ на ребре $MA$.

3. Построение искомого сечения

Последовательно соединяем полученные вершины, лежащие в одной грани пирамиды, отрезками:

• В грани $AMB$ соединяем точки $S$ и $T$ (отрезок $ST$).
• В грани $MBC$ соединяем точки $T$ и $R$ (отрезок $TR$).
• В грани $CMD$ соединяем точки $R$ и $Q$ (отрезок $RQ$).
• В грани $AMD$ соединяем точки $Q$ и $E$ (отрезок $QE$).
• В той же грани $AMD$ соединяем точки $E$ и $S$ (отрезок $ES$).

В результате получаем пятиугольник $STRQE$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $STRQE$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом.