Номер 3.35, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.35. Верно ли, что если все грани многогранника — равные квадраты, то этот многогранник — куб?

Нет, это утверждение неверно.

Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример — то есть, показать существование многогранника, все грани которого являются равными квадратами, но который не является кубом.

Рассмотрим такой контрпример. Возьмем два одинаковых куба и соединим их, приложив один к другому по целой грани. В результате получится новый многогранник. Проанализируем его свойства:

• Грани. У каждого исходного куба было по 6 квадратных граней. После соединения два квадрата (по одному от каждого куба) стали внутренними и перестали быть гранями нового тела. Таким образом, поверхность полученного многогранника состоит из $6 + 6 - 2 = 10$ граней. Все эти 10 граней являются равными между собой квадратами.
• Форма. Полученная фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед. Если ребро исходных кубов было равно $a$, то измерения нового тела будут $a \times a \times 2a$. Очевидно, что это не куб, так как у куба все ребра должны быть равной длины.

Таким образом, мы сконструировали многогранник, который удовлетворяет условию (все грани — равные квадраты), но не является кубом. Этот многогранник является невыпуклым, поскольку на общих ребрах соединения внутренние двугранные углы составляют $270^\circ$.

Следует отметить, что если бы в условии было дополнительное ограничение, что многогранник является выпуклым, то утверждение было бы верным. В любой вершине выпуклого многогранника сумма плоских углов сходящихся в ней граней должна быть меньше $360^\circ$. Угол квадрата равен $90^\circ$, поэтому в каждой вершине могут сходиться только три грани ($3 \times 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$). Выпуклый многогранник, у которого все грани — равные квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра, является кубом.

Поскольку в задаче такого уточнения нет, общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, неверно.