Номер 3.26, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.26. На рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно (рис. 3.47). Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Рис. 3.47

Для построения сечения призмы плоскостью $CDE$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Эти линии образуют многоугольник, который и является искомым сечением. Построение выполним в несколько шагов.

Шаг 1. Построение отрезков сечения на гранях, содержащих заданные точки

Сначала соединим точки, которые лежат в одной грани призмы.

• Точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости боковой грани $AA_1C_1C$ (точка $C$ — вершина призмы, а точка $D$ лежит на ребре $AA_1$). Следовательно, отрезок $CD$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$ и одной из сторон искомого сечения.
• Точки $D$ (на ребре $AA_1$) и $E$ (на ребре $A_1B_1$) принадлежат плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок $DE$ также является стороной сечения, лежащей в этой грани.

Шаг 2. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания

Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем прямую, по которой секущая плоскость $(CDE)$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

1. Прямая $DE$ лежит в секущей плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания. Обе эти прямые находятся в одной плоскости — плоскости грани $AA_1B_1B$. Найдем точку их пересечения, продлив отрезки $DE$ и $AB$. Обозначим эту точку буквой $F$. Таким образом, $F = DE \cap AB$.
2. Точка $F$ принадлежит прямой $DE$, а значит, лежит в секущей плоскости $(CDE)$.
3. Точка $F$ принадлежит прямой $AB$, а значит, лежит в плоскости основания $(ABC)$.
4. Точка $C$ также принадлежит обеим этим плоскостям по условию.
5. Следовательно, прямая $FC$ является линией пересечения секущей плоскости $(CDE)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эту прямую называют следом секущей плоскости.

Шаг 3. Построение стороны сечения в плоскости верхнего основания

Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(CDE)$ пересекает их по параллельным прямым.

1. Мы уже нашли прямую пересечения с плоскостью нижнего основания — это прямая $FC$.
2. Линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ будет проходить через точку $E$ (так как $E$ принадлежит и секущей плоскости, и верхнему основанию) и будет параллельна прямой $FC$.
3. Проведем в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ через точку $E$ прямую, параллельную прямой $FC$.
4. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку буквой $H$. Отрезок $EH$ является стороной сечения, лежащей в грани верхнего основания.

Шаг 4. Завершение построения

Мы получили новую вершину сечения — точку $H$ на ребре $B_1C_1$. Точка $H$ и исходная точка $C$ лежат в одной боковой грани $BCC_1B_1$.

1. Соединим точки $H$ и $C$ отрезком. Отрезок $HC$ является последней стороной искомого сечения.
2. В результате мы получили замкнутый четырехугольник $CDEH$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $CDEH$, вершины которого лежат на ребрах призмы (и в вершине $C$), построенный в соответствии с описанным алгоритмом.