Номер 3.21, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.21. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 3.42

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E$, $F$ и $K$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости одной грани куба — грани $BCC_1B_1$. Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$ и одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости одной грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком. Отрезок $FK$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $CDD_1C_1$ и второй стороной сечения.

3. Грани куба $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны ($ABB_1A_1 \parallel CDD_1C_1$). По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения также параллельны. Секущая плоскость $EFK$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой $FK$. Следовательно, секущая плоскость должна пересекать грань $ABB_1A_1$ по прямой, параллельной прямой $FK$.

4. Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $ABB_1A_1$. Значит, искомая линия пересечения на грани $ABB_1A_1$ проходит через точку $E$. Проведем через точку $E$ в плоскости грани $ABB_1A_1$ прямую, параллельную $FK$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в некоторой точке, которую мы обозначим $L$. Отрезок $EL$ является третьей стороной сечения.

5. Точки $L$ и $K$ принадлежат плоскости грани $ADD_1A_1$ (точка $L$ на ребре $AA_1$, точка $K$ на ребре $DD_1$). Соединим их отрезком. Отрезок $LK$ – четвертая, замыкающая сторона сечения, являющаяся линией пересечения секущей плоскости с гранью $ADD_1A_1$.

В результате построений получен четырехугольник $EFKL$, который и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник $EFKL$, где $L$ – точка на ребре $AA_1$, такая, что прямая $EL$ параллельна прямой $FK$.