Номер 4.4, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.4. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.15).

Укажите взаимное расположение прямых:

1) $BC$ и $A_1C$;

2) $AB$ и $C_1D_1$;

3) $BD$ и $CC_1$;

4) $AB_1$ и $DC_1$;

5) $DC_1$ и $BB_1$;

6) $AA_1$ и $CC_1$.

Рис. 4.15

1) BC и A_1C;

Прямые $BC$ и $A_1C$ имеют общую точку $C$. Две прямые в пространстве, имеющие одну общую точку, называются пересекающимися. Они лежат в одной плоскости, определяемой тремя точками $A_1, B, C$.
Ответ: пересекающиеся.

2) AB и C_1D_1;

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются равными прямоугольниками и лежат в параллельных плоскостях. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ параллельна стороне $DC$. В прямоугольнике $A_1B_1C_1D_1$ сторона $A_1B_1$ параллельна стороне $D_1C_1$. Также, ребра $DC$ и $D_1C_1$ параллельны, так как они являются противоположными сторонами прямоугольника $DCC_1D_1$. Имеем $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$. По свойству транзитивности параллельных прямых, получаем, что $AB \parallel D_1C_1$.
Ответ: параллельные.

3) BD и CC_1;

Прямая $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $CC_1$ является боковым ребром, перпендикулярным к плоскости основания, и пересекает эту плоскость в точке $C$. Точка $C$ не принадлежит прямой $BD$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Следовательно, прямые $BD$ и $CC_1$ являются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

4) AB_1 и DC_1;

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. В прямоугольном параллелепипеде ребра $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Ребра $BB_1$ и $CC_1$ также параллельны и равны. Рассмотрим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$. $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$. Равенство векторов означает, что они коллинеарны (их направления совпадают) и их длины равны. Следовательно, прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны, так как лежат на параллельных прямых.
Ответ: параллельные.

5) DC_1 и BB_1;

Рассмотрим плоскость грани $BCC_1B_1$. Прямая $BB_1$ полностью лежит в этой плоскости. Прямая $DC_1$ пересекает плоскость $BCC_1B_1$ в точке $C_1$. Точка пересечения $C_1$ не принадлежит прямой $BB_1$. По признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

6) AA_1 и CC_1;

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами прямоугольного параллелепипеда. По определению параллелепипеда, все его боковые ребра параллельны друг другу. Эти прямые также лежат в одной плоскости — диагональной плоскости сечения $ACC_1A_1$. Так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны.
Ответ: параллельные.