Номер 4.8, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.8. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой $a$. Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая $a$ являются скрещивающимися.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть нам даны прямая $a$, точка $M$, не принадлежащая прямой $a$ ($M \notin a$), и две различные прямые $b$ и $c$, которые проходят через точку $M$ ($M \in b$, $M \in c$, $b \neq c$). По условию задачи, прямые $b$ и $c$ не имеют общих точек с прямой $a$. Это означает, что они не пересекают прямую $a$: $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Требуется доказать, что хотя бы одна из прямых ($b$ или $c$) является скрещивающейся с прямой $a$.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве, не имеющих общих точек, может быть двух видов: они либо параллельны, либо скрещиваются.

Сделаем предположение, противоположное тому, что требуется доказать: предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не является скрещивающейся с прямой $a$.

Рассмотрим, что следует из нашего предположения:
1. Прямая $b$ не имеет общих точек с прямой $a$ и, по нашему предположению, не скрещивается с ней. Единственный оставшийся вариант их взаимного расположения — параллельность. Следовательно, $b \parallel a$.
2. Аналогично, прямая $c$ не имеет общих точек с прямой $a$ и не скрещивается с ней. Следовательно, $c \parallel a$.

Таким образом, наше предположение привело нас к следующей ситуации: через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые $b$ и $c$, каждая из которых параллельна прямой $a$.

Однако это напрямую противоречит fundamentalной аксиоме стереометрии (следствию из пятого постулата Евклида): через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Поскольку мы пришли к противоречию с аксиомой, наше исходное предположение неверно. Следовательно, утверждение "ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$" является ложным. Это означает, что его отрицание истинно, а именно: "хотя бы одна из прямых $b$ или $c$ скрещивается с прямой $a$".

Что и требовалось доказать.

Ответ: Предположение о том, что обе прямые ($b$ и $c$) параллельны прямой $a$, приводит к противоречию с аксиомой о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Поскольку по условию прямые $b$ и $c$ не пересекают прямую $a$, то хотя бы одна из них обязана быть с ней скрещивающейся.