Номер 4.14, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.14. Конец $A$ отрезка $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через точку $B$ и точку $C$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $CC_1 = 5$ см.

3) Найдите отрезок $CC_1$, если $AC : BC = 3 : 4$ и $BB_1 = 28$ см.

1) Докажите, что точки A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

По условию, через точки B и C проведены параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$. Две параллельные прямые в пространстве определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$.
Точки B и C принадлежат прямой AB, а также лежат в плоскости $\beta$ (так как $B \in BB_1$ и $C \in CC_1$). Следовательно, вся прямая AB, содержащая эти две точки, лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку точка A принадлежит отрезку AB, она также принадлежит прямой AB, и, следовательно, точка A лежит в плоскости $\beta$.
Точки $B_1$ и $C_1$ являются точками пересечения прямых $BB_1$ и $CC_1$ с плоскостью $\alpha$. Значит, точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$.
Таким образом, точки A, $B_1$ и $C_1$ одновременно принадлежат двум плоскостям: плоскости $\alpha$ (по условию для A, по построению для $B_1$ и $C_1$) и плоскости $\beta$ (как мы доказали выше).
Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Следовательно, все три точки A, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок BB₁, если точка C — середина отрезка AB и CC₁ = 5 см.

Рассмотрим плоскость $\beta$, в которой лежат треугольник $ABB_1$ и отрезок $CC_1$.
По условию $BB_1 \parallel CC_1$. Из пункта 1 мы знаем, что точки A, $C_1$, $B_1$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$.
Угол $\angle CAB$ (или $\angle C_1AB_1$) является общим для обоих треугольников.
Поскольку $CC_1 \parallel BB_1$, то соответственные углы при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB_1$ равны: $\angle AC_1C = \angle AB_1B$.
Следовательно, треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$
По условию, точка C — середина отрезка AB, значит $AC = \frac{1}{2}AB$, или $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$.
Нам известно, что $CC_1 = 5$ см. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{BB_1}$
Отсюда находим $BB_1$:
$BB_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Также можно заметить, что $CC_1$ является средней линией треугольника $ABB_1$, так как $C$ — середина стороны $AB$ и $CC_1$ параллельна стороне $BB_1$. Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны.
$CC_1 = \frac{1}{2} BB_1 \implies BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

3) Найдите отрезок CC₁, если AC : BC = 3 : 4 и BB₁ = 28 см.

Аналогично пункту 2, используем подобие треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$, которое мы уже доказали.
Из подобия следует соотношение:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$
По условию дано отношение $AC : BC = 3 : 4$. Это означает, что отрезок $AB$ можно представить как сумму $AC$ и $BC$. Если принять $AC = 3x$, то $BC = 4x$, а $AB = AC + BC = 3x + 4x = 7x$.
Таким образом, отношение длины отрезка $AC$ к длине всего отрезка $AB$ равно:
$\frac{AC}{AB} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$
Нам известно, что $BB_1 = 28$ см. Подставим все известные значения в пропорцию:
$\frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28}$
Выразим отсюда $CC_1$:
$CC_1 = \frac{3}{7} \cdot 28 = 3 \cdot \frac{28}{7} = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Ответ: 12 см.