Номер 4.18, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.18. Прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной прямой (рис. 4.18). Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ — в точке $E$. Докажите, что прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся.

Рис. 4.18

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые $ b $ и $ c $ не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны, и в обоих случаях лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $ \beta $.

По условию, прямая $ b $ пересекает прямую $ a $ в точке $ D $, а прямая $ c $ пересекает прямую $ a $ в точке $ E $. Так как прямые $ b $ и $ c $ лежат в плоскости $ \beta $, то и все их точки, включая точки $ D $ и $ E $, принадлежат плоскости $ \beta $.

Поскольку две точки $ D $ и $ E $ прямой $ a $ лежат в плоскости $ \beta $, то вся прямая $ a $, проходящая через них, также лежит в плоскости $ \beta $. Таким образом, мы установили, что все три прямые $ a, b $ и $ c $ лежат в одной плоскости $ \beta $.

Из условия задачи известно, что прямые $ a, b, c $ пересекают плоскость $ \alpha $ в точках $ A, B, C $ соответственно. Это значит, что $ A \in a, B \in b, C \in c $. Так как прямые $ a, b, c $ лежат в плоскости $ \beta $, то и точки $ A, B, C $ также принадлежат плоскости $ \beta $.

При этом, по условию, точки $ A, B, C $ лежат в плоскости $ \alpha $ и не лежат на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $ A, B, C $ принадлежат обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $, эти плоскости должны совпадать: $ \alpha = \beta $.

Из совпадения плоскостей следует, что прямые $ a, b, c $, лежащие в плоскости $ \beta $, также лежат и в плоскости $ \alpha $. Это противоречит исходному условию, что прямые $ a, b, c $ пересекают плоскость $ \alpha $, то есть имеют с ней только по одной общей точке, а не лежат в ней.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $ b $ и $ c $ не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые $ b $ и $ c $ скрещивающиеся.